Funções e Equações Modulares

  Módulo (ou valor absoluto) de um número

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:

Então:

Se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x.

Exemplos:  | 2 | = 2  ;  | 1/2 | = | 1/2 |  ;  | 15 | = 15

Se x é negativo, | x | é igual a -x.

Exemplos:  | -2 | = -(-2) = 2  ;  | -20 | = -(-20) = 20

O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.

Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem.

Equações modulares

Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular.

Exemplos:

a)      | x²-5x | = 1

b)      | x+8 | = | x²-3 |

Algumas equações modulares resolvidas:

1)      Resolver a equação | x²-5x | = 6.

Resolução: Temos que analisar dois casos:

caso 1:  x²-5x = 6

caso 2:            x²-5x = -6

Resolvendo o caso 1:

x²-5x-6 = 0  =>  x’=6 e x’’=-1.

Resolvendo o caso 2:

x²-5x+6 = 0  =>  x’=3 e x’’=2.

Resposta:  S={-1,2,3,6}

2)      Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |.

Resolução: Temos que analisar dois casos:

caso 1:  x-6 = 3-2x

caso 2:            x-6 = -(3-2x)

Resolvendo o caso 1:

x-6 = 3-2x  =>  x+2x = 3+6  =>  3x=9  =>  x=3

Resolvendo o caso 2:

x-6 = -(3-2x)  =>  x-2x = -3+6  =>  -x=3  =>  x=-3

Resposta:  S={-3,3}

Gráfico de Funções Modulares

O gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo.

Um outro exemplo para uma função modular seria a função modular do 2º grau ,
sendo f(x) = |x² – 4| , assim :

, assim temos o gráfico: