Coordenadas do Vértice de uma Parábola

Vértices

Toda função quadrática ou do 2º grau é do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola que, dependendo do valor do coeficiente a, terá a concavidade voltada para cima ou para baixo. Se o coeficiente a for negativo, a concavidade da parábola será voltada para baixo. Se ocorrer o contrário, ou seja, a for positivo, a parábola terá a concavidade voltada para cima. A parábola apresenta alguns pontos notáveis: as raízes, que são os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas, e o vértice, que pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função. Faremos o estudo do vértice da parábola, a fim de determinar as suas coordenadas e compreender sua importância no estudo da função do 2º grau.

Como foi dito anteriormente, o vértice da parábola pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função do 2º grau. Se a concavidade da parábola for voltada para cima, o vértice é o ponto de mínimo da função, ou seja, é o menor valor que a função pode assumir. Se a concavidade da parábola estiver voltada para baixo, o vértice é o ponto de máximo da função, ou seja, o maior valor que a função pode assumir. O uso desses conceitos é bastante útil na teoria de lançamentos oblíquos.

                              

Dada uma função do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, as coordenadas do vértice V da parábola descrita por essa função são:

Onde
∆ = b2 – 4ac

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Verifique se as seguintes funções apresentam ponto de máximo ou mínimo absoluto.

a) f(x) = – 2x2 + 3x + 5

Solução: No caso da função do 2º grau, para determinarmos se há ponto de máximo e mínimo absoluto basta verificar se a concavidade da parábola descrita pela função apresenta concavidade voltada para baixo ou para cima. Nesse caso, temos que:

a = – 2 < 0 → concavidade da parábola está voltada para baixo.

Como a concavidade da parábola está voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola.

b) y = 5x2 – 3x

Solução: Temos que

a = 5 > 0 → concavidade da parábola está voltada para cima.

Assim, podemos afirmar que a função apresenta ponto de mínimo absoluto, que é o vértice da parábola.

Exemplo 2. Determine as coordenadas do vértice da parábola descrita pela função f(x) = 2x2 – 4x + 6.
Solução: Analisando a função f(x) = 2x2 – 4x + 6, obtemos:

a = 2, b = – 4 e c = 6

Segue que:

Exemplo 3. Uma bala é atirada de um canhão e descreve uma parábola de equação y = -9x2 + 90x. Determine a altura máxima atingida pela bala do canhão, sabendo que y é a altura em metros e x é o alcance, também em metros.
Solução: Como a parábola possui equação y = – 9x2 + 90x, podemos constatar que sua concavidade está voltada para baixo e que a altura máxima atingida pela bala de canhão corresponde à coordenada y do vértice, uma vez que o vértice é ponto de máximo absoluto.

Assim, para determinar a altura máxima atingida pela bala do canhão, basta determinar o valor y do vértice.
Temos que: a = – 9, b = 90 e c = 0. Logo, teremos:

Portanto, a altura máxima atingida pela bala de canhão é de 225 metros.

Demonstrações das fórmulas de x_v e y_v:

x_v indica o eixo de simetria da parábola, ou seja, x_v=\frac{x_1+x_2}{2}, onde x_1x_2 são as raízes da equação do segundo grau.

Temos x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=\frac{-b}{a}.

Assim,  $latex x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{a}{2}=\frac{-b}{2a}$

Substituindo este valor de x_v na função f(x)=ax^2+bx+c, temos:

y_v=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c=a\left(\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{b^2-2b^2+4ac}{4a}=\frac{-b^2+4ac}{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}=\frac{-\Delta}{4a}

Veja também:

Noções iniciais de Função Quadrática

Gráfico de uma função quadrática

  1. Anairam
    09/04/2014 às 19:25

    Muito obrigado,nao consegui encontrar em nehum outro site uma expliccação tão boa como a sua. Gracias!

    • 09/04/2014 às 23:35

      Que bom que ajudou Anairam

  2. filipe
    30/10/2012 às 16:45

    muito útil para quem está no 9 ano

  3. gabriela
    25/10/2012 às 19:21

    eu estava entendendo o conteudo ,mas n tava mto claro , esclareceu agora pq esta tdo bem separado !! obg vou tirar 10 amanha

  4. 27/08/2012 às 23:53

    Ei. uma função quadratica pode ter como resultado uma reta crescente? estou no 1 ano do ensino medio e acabei de sair das funçoes afins .

    • 29/08/2012 às 2:14

      Não João, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Somente se o termo a(coeficiente de x²) for zero que teremos uma reta, mas ai a função deixa de ser quadrática e passa a ser afim.

  5. rabino
    01/08/2012 às 19:17

    gostei do teste

  6. Victor
    28/05/2012 às 23:10

    Esse conteúdo é muito tranquilo, mas gostaria de ver as demonstrações dessas fórmulas…

    • 08/06/2012 às 0:18

      As demonstrações já foram feitas acima Victor.

  7. barbara
    01/04/2012 às 20:57

    não consigo entender nada, nada mesmo, de matemática!!!

    • 01/04/2012 às 21:14

      Bárbara, todo mundo sempre sabe alguma coisa de Matemática. Afinal você utiliza a Matemática involuntariamente em todos os momentos da sua vida.
      Se seu problema é no entendimento dos conteúdos escolares, sugiro que converse com seu professor para que ele possa avaliar seu grau de conhecimento e sugerir formas de você assimilá-los.

    • walesca
      18/08/2014 às 22:16

      gostei desse site esta explicando tudo claramente, obrigado por te me ajudado

  8. 24/03/2012 às 15:54

    EU ESTOU COMESANDO A GOSTAR DESSE EXERCICIO DE VERTICE E MUITO DIVERTIDO JÁ FAZ MUITO TEMPO QUE EU ESTAVA ESQUECIDO MAIS AGORA PEQUEI O GOSTO DESSA MATERIA E MUITO DIVERTIDO A MATEMATICA

  9. bacano
    28/01/2012 às 12:32

    so por causa desta ja vo ter 20 no teste xD

  10. Ricardo
    21/08/2011 às 22:19

    Obrigado por postarem explicações e exercícios sobre o vértice da parabola, me ajudou muito.

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