Gráfico de uma função quadrática

Parábola

O gráfico de uma função do 2º grau é dado por uma parábola com concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola intersecciona ou não, o eixo das abscissas (x), isso depende do tipo de equação do 2º grau que compõe a função. Para obtermos a condição dessa parábola em relação ao eixo x, precisamos aplicar o método de Bháskara, trocando f(x) ou y por zero. Devemos sempre lembrar que uma equação do 2º grau é dada pela expressãoax² + bx + c = 0, onde os coeficientes ab e c são números reais e a deve ser diferente de zero. Uma função do 2º grau respeita a expressão f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde x e y são pares ordenados pertencentes ao plano cartesiano e responsáveis pela construção da parábola.

O plano cartesiano responsável pela construção das funções é dado pela intersecção de dois eixos perpendiculares, enumerados de acordo com a reta numérica dos números reais. Todo número do eixo x possui imagem correspondente no eixo y, de acordo com a função fornecida. Observe uma representação do plano cartesiano:

Vamos demonstrar as posições de uma parábola de acordo com o número de raízes e o valor do coeficiente a, que ordena a concavidade voltada para cima ou para baixo.

Condições

a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima.
a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo.

∆ > 0, a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos.
∆ = 0, a parábola intercepta o eixo das abscissas somente em um ponto.
∆ < 0, a parábola não intercepta o eixo das abscissas.

∆ > 0

∆ = 0

∆ < 0

Observe algumas funções do 2º grau e seus respectivos gráficos.

Exemplo 1

f(x) = x² – 2x – 3

Exemplo 2

f(x) = –x² + 4x – 3

Exemplo 3

f(x) = 2x² – 2x + 1

Exemplo 4

f(x) = –x² – 2x – 3

Veja também:

  1. 16/07/2014 às 18:41

    gostaria de ver a expresso analitica apartir do grafico de funcao quadratica

  2. 06/05/2014 às 17:31

    Gostei da explicacao

  3. 12/12/2013 às 22:55

    o texto e bom mais falra mais exemplos e obejetividade

  4. Rodrick
    21/11/2013 às 0:35

    Como fazer qnd não ha vertice em uma função quadratica

    • 22/11/2013 às 1:17

      Rodrick, como o gráfico de uma função quadrática é uma parábola com concavidade voltada para cima ou para baixo (dependendo se a>0 ou a<0), sempre haverá um vértice. O que pode acontecer é que o vértice pode estar sobre o eixo x (eixo das abscissas) e nesse caso o valor máximo ou mínimo é zero.
      Caso tenha um exemplo da situação que você estar citando post ai para avaliarmos.

  5. 03/11/2013 às 16:59

    como se faz esse grafico
    y=-x²+2x+8

  6. Armindo Almeida Manhiça
    23/09/2013 às 15:30

    É sempre bom encontrar algo feito por outras pessoas sobre o que trabalhamos

  7. Eduarda
    29/06/2013 às 19:06

    Qual a relação dos coeficientes com o gráfico da função quadrática?

    • 16/07/2013 às 2:51

      O coeficiente a determina se a parábola é voltada para cima ou para baixo. O coeficiente c determina em qual ponto a função intercepta o eixo y e o b influência na localização do vértice em relação aos eixos (juntamente com os coeficientes a e c).

  8. #aa
    20/06/2013 às 20:05

    Exemplo sem resolução, assim fica difícil!

  9. maxson
    19/06/2013 às 12:46

    como responder essa questão: determinar o valor de m, onde f(x)= -3x²+2(m-1)x+(m+1) para que o valor máximo seja 2.

    • 20/06/2013 às 20:53

      Maxson, utilize a fórmula Y_v=\frac{-\Delta}{4a}
      Calculando o discriminante você obeterá:
      \Delta=4m^2+4m+16 e utilizando a fórmula acima com Y_v=2 você obtem m=-2 ou m=1

  10. 15/04/2013 às 1:24

    Estou há horas tentando resolver e não consigo. Podes me ajudar? f(X)= -x^2+3×-3=0. Quais as raizes?

    • 22/04/2013 às 22:11

      Sérgio, a função dada não tem raízes exatas. Mas segue
      \Delta=b^2-4*a*c=3^2-4*1*(-3)=21
      x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2*a}=\frac{-3\pm \sqrt{21}}{2*1}
      x_1=\frac{-3+ \sqrt{21}}{2}
      x_2=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}

    • millena
      30/08/2013 às 16:46

      estou tentando sabe se na f(x)= 2x*-2×-12, por onde a reta passa no gráfico?
      por favor me ajuda.

      • 02/09/2013 às 18:41

        Qual reta Millena?
        O gráfico da função f(x)=2x^2-2×-12 é uma função quadrática que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (-2,0) e (3,0) e o eixo das ordenadas no ponto (0,-12).

  11. maria lobato
    15/03/2013 às 15:43

    eu gostaria muito de aprender funcao.fiquei muito tempo sem estudar,agora que voltei,chego ate chorar por nao conceguir aprender.adimiro muito quem pega rapido.parabens p vcs.

  12. Lidiane
    16/01/2013 às 12:58

    eu entedi mais ou menos o assunto realmente e muito bom…
    espero que todos aprendam. bom estudos!

  13. 24/11/2012 às 14:25

    gostei desse assunto ajuda muito para as provas da IV unidade . valeuuuu

  14. claudia
    09/10/2012 às 19:55

    muito leeeeeeeeeeeeeeegal

  15. dknedkn kdnblrthnb
    04/10/2012 às 23:15

    muito bom continua assim

  16. Renan Henrique
    14/09/2012 às 10:48

    muito bom.

  17. Juliana Paiva Vieira daSilva
    10/09/2012 às 0:26

    Eu não estou entendendo muito bem sobre esses gráficos porque toda vez que eu vou fazer o gráfico não dá para formar uma parábola.Espero que esse site me ajude!Desde já agradeço a ajuda!

    • 10/09/2012 às 0:48

      Juliana, seria interessante você conversar pessoalmente com seu professor ou alguém que possa te orientar nesse sentido.

  18. Bruna Cunha
    01/09/2012 às 14:31

    COMO SABER A FUNÇÃO QUADRATICA POR MEIO DE UM GRÁFICO ? !

    • 07/09/2012 às 12:57

      Onde o gráfico intercepta o eixo das ordenadas (eixo y) é o valor do termo c.
      Para encontrar o valor do termo a e b então basta utilizar as raízes da função (olhe onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas-eixo x) e resolver o sistema encontrado.

    • iraci
      16/11/2013 às 20:20

      Olá gente gostaria de saber que tipo de gráfico representa uma função quadrática com descriminante negativo.

      • 22/11/2013 às 1:13

        Quando o discriminante é negativo, o gráfico ainda é uma parábola (com concavidade para cima se a>0 ou para baixo se a<0). Porém tal gráfico não intercepta o eixo das abscissas (eixo x), pois não possui raízes reais.

  19. Cah Egito
    24/08/2012 às 0:36

    Quando é que o gráfico da Função Quadrática intercepta o eixo das abscissas? *

    • 27/08/2012 às 14:24

      Caro Cah, o gráfico da função quadrática intercepta o eixo das abscissas quando a função admite raízes reais, o que ocorre quando \Delta >0(a função tem duas raízes reais distintas) ou \Delta=0(a função tem uma única raiz real).
      No caso caso em que \Delta >0 o gráfico da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, correspondentes as raízes. Já quando \Delta =0 o gráfico intercepta o eixo das abscissas em um único ponto, correspondente a única raiz da função.
      Quando \Delta<0 a função não admite raízes reais e, portanto, seu gráfico não intercepta o eixo das abscissas.

  20. Klaus do iate
    26/06/2012 às 18:28

    É possivel saber e equacao de formacao de uma funçao quadratica sabendo-se suas raizes mais as coordenadaas do vertice? Se sim, como? Se nao, sabendo-se tb onde a parabola corta eixo y , poderiamos ter a equaçao da funcao? Enxugando saberiamos a,b e c?

    • 30/06/2012 às 23:27

      Sim Kalus. Suponha que tenhamos, por exemplo, que descobri a lei da função que tem como vértices x_v=\frac{5}{4} e y_v=\frac{9}{8} e tenha raízes x_1=2 e x_2=\frac{1}{2}. Sabemos que a soma e o produto das raízes de uma função quadrática da forma f(x)=ax^2+bx+c são dadas pelas respectivas fórmulas x_1+x_2=\frac{-b}{a} e x_1 * x_2=\frac{c}{a}. Sabemos ainda que y_v=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-b^2+4ac}{4a}.
      Utilizando a fórmula x_1+x_2=\frac{-b}{a} e x_1 * x_2=\frac{c}{a} com os dados apresentados temos 1+1/2=5/2=\frac{-b}{a}\Rightarrow b=\frac{-5a}{2} e 2*1/2=1=\frac{c}{a}\Rightarrow a=c. Substituindo estes resultados na fórmula de y_v encontramos a=2. Segue que c=a=2 e que b=\frac{-5a}{2}=\frac{-5*2}{2}=-5.
      Assim, temos que a lei da função será f(x)=2x^2-5x+2. Você pode conferir encontrando as raízes desta função e os vértices, comprovando que dá como resultado os dados apresentados inicialmente.

      Se soubéssemos onde a função intercepta o eixo oy ficaria ainda mais fácil.

      • Klaus do iate
        03/07/2012 às 12:21

        Obrigadao, WS!

    • Klaus do iate
      03/07/2012 às 12:25

      E como podemos alterar a lei de função quadratica de modo a fazer um deslocamento lateral (paralelo ao eixo dos x) na curva de função quadratica mantendo o mesmo formato da parabola?

      • 03/07/2012 às 23:58

        Pegunta interessantíssima Klaus!
        Observe Klaus que a formula de x_v depende do termo b e do termo a. Mantendo o termo a fixo e variando o temo b vc altera o vértice da parábola em relação ao eixo x e tb em relação ao eixo y, pois y_v também depende de b. Para conseguir o deslocamento pretendido vc deverá altera os termos b e c combinando-os, sugiro que vc use um softwares para visualizar isso, tipo o Wimplot(baixe aqui: http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/).
        Quando o termo c=0 você consegue um deslocamento em torno da origem só alterando o termo b.
        Faça os testes e comente.
        Espero ter ajudado.

      • Klaus do iate
        04/07/2012 às 15:34

        Ajudou muito novamente, WS. Parece um calculo simples para quem estuda balistica, imagino. O fato que meus filhos jogam um videogame onde os projeteis tem que atingir um alvo atras de um muro. Eu lhes disse que a compreensao da funcao quadratica está por tras disso que em Fisicia de Ensino medio se chama lançamento olbiquo. Mas a coisa é mais complexa porque ha atrito com ar e ventania no simulador também!!!! De modo que os filhos riem de mim quando meus calculos nao acertam o alvo. hehehee

  21. 25/05/2012 às 14:09

    Muito Obrigada!isso me ajudou muito no trabalho de matemática.

  22. Camila.
    25/04/2012 às 22:01

    Não consigo saber qual é o coeficiente linear (b) olhando só para o gráfico x_x assim,não consigo então formar a função f(x) porque fica faltando.

    • 26/04/2012 às 1:16

      Camila, numa função quadrática o temo b não é chamado coeficiente linear (este nome é dado na função afim). Para encontrá-lo vc pode utilizar a fórmula para soma de raízes (x_1+x_2=\frac{-b}{a}) ou a fórmula de x_v (x_v=-\frac{-b}{2a}).

  23. Valrelio
    08/02/2012 às 13:06

    como fais ografico da função do 2° grau fautano o termo c,
    e como acha o grafico.

    • 10/02/2012 às 20:48

      Valrelio, o termo c indica o ponto em que o gráfico intercepta o eixo OY: (0,c). Caso falte o termo c você não tem como saber exatamente em que ponto o gráfico da função quadrática intercepta o eixo OY. Pode ser que a própria questão ou problema lhe forneça informações que permitam desobri o termo c, caso contrário, vc fará o gráfico interceptando o eixo OY para valor de c qualquer (o qual ainda pode ser positivo ou negativo, o que não seria muito conveniente.
      Caso você tenha algum exemplo em que pede o gráfico faltando o termo c, seria interessante postar para que eu possa te orientar melhor.

  24. Tiago Souza Ferreira
    19/01/2012 às 16:46

    Como posso saber se o eixo de simetria irá ficar para o lado direito ou lado esquerdo do eixo das ordenadas?

    Tiago Souza Ferreira

    • 19/01/2012 às 20:09

      Ótima pergunta Tiago!
      Bem, lembremos que o vértice da parábola é um ponto dado por \left(x_v,y_v\right)=\left(\frac{-b}{2a},\frac{-\Delta}{4a}\right) e que x_v é que nos dá a localização do vértice em relação ao eixo x.
      Assim
      Quando a parábola tem concavidade voltada para cima(a>0) e b>0, então x_v=\frac{-b}{2a}<0. Neste caso, o eixo de simetria está do lado esquerdo do eixo das ordenadas pelo fato de x_v <0. Se a>0 e b<0, então \frac{b}{2a}<0\Rightarrow \frac{-b}{2a}>0, ou seja, x_v é positivo e portanto, o vértice(e consequentemente o eixo de simetria) está à direita do eixo das ordenadas.

      Já quando a parábola tem concavidade voltada para baixo(a<0) e b>0, então \frac{b}{2a}<0\Rightarrow\frac{-b}{2a}>0. Neste caso, o eixo de simetria está do lado direito do eixo das ordenadas pelo fato de x_v >0. Se a<0 e b<0, então \frac{b}{2a}>0\Rightarrow \frac{-b}{2a}<0, ou seja, x_v é negativo e portanto, o vértice(e consequentemente o eixo de simetria) está à esquerda do eixo das ordenadas.

      Em resumo, se os coeficientes a e b têm o mesmo sinal(são ambos positivos ou negativos), então x_v é negativo e o eixo de simetria está à esquerda do eixo das ordenadas. Já se a e b têm sinais opostos(um é positivo e o outro negativo), então x_v é positivo e o eixo de simetria está à direita do eixo das ordenadas

      Esperto ter sanado sua dúvida, bons estudos!

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