Definição & Unidade Imaginária

Números complexos são pares ordenados de números reais do tipo (x, y). Estabelecidas as operações de adição e multiplicação de elementos desse conjunto, podemos obter uma série de propriedades bem semelhantes às existentes para números reais. Em especial, podemos destacar uma identidade muito importante que culminou na obtenção de raízes de índice par de um número negativo.

O estudo dos números complexos contribuiu para resolução de equações de grau maior ou igual a 3, uma vez que essas equações apresentam raízes reais e complexas. O conjunto dos números complexos é representado pela letra C e os elementos desse conjunto também podem ser escritos da forma a + bi, chamada de forma normal ou algébrica.

Unidade imaginária

As equações do 2º grau são resolvidas utilizando diversas técnicas, dentre as quais, a mais cogitada é através da resolução pelo método de Bháskara, que determina as raízes da equação utilizando os seus coeficientes.

Ao resolvermos uma equação do 2º grau utilizando o método de Bháskara, respeitamos algumas condições de acordo com o valor do discriminante. Se ele for maior ou igual a zero, continuamos a resolver a equação. Caso seja menor que zero, isto é, um número negativo, dizemos que a equação não possui raízes reais, em virtude de o valor do discriminante pertencer a uma raiz. A afirmativa condiciona-se ao fato de que dentre o conjunto dos números reais, não existe raiz quadrada de números negativos. Observe a seguinte equação:

O valor do discriminante é igual a um número negativo (∆ = −4). Esse tipo de equação ficou por muito tempo sem resolução, pois enquadrava-se na situação da raiz quadrada de um número negativo. Somente após um longo período de pesquisas e estudos, matemáticos anunciaram a resolução com o auxílio de um número imaginário. O mesmo era representado pelo símbolo  e associava seu valor a −1. Observe como representar a raiz negativa da equação anterior:

Dessa forma, as equações em que o valor do discriminante fosse um número negativo, seriam resolvidas aplicando as técnicas do número imaginário, obtendo assim, a raiz quadrada deste número negativo. Veja:

Com essa nova descoberta surgiu o conjunto dos números complexos, formados por uma parte real e outra parte imaginária. Por exemplo, as raízes da equação do 2º grau x² − 6x + 10 = 0, são x’ = 3 + i e x” = 3 − i. As raízes são números complexos onde a parte real de x’ é igual a 3 e a parte imaginária +i e a parte real de x” é 3 e a parte imaginária −i.

Exemplo

Vamos determinar as raízes da seguinte equação do 2º grau: −x² + 4x − 29 = 0.

As raízes da equação −x² + 4x − 29 = 0 são:

x’ = 2 − 5i
x” = 2 + 5i

-

Veja também:

Potências de i

Operações com números complexos na forma algébrica

Forma trigonométrica de um número complexo

Multiplicação e divisão de complexos na forma trigonométrica

Potenciação de números complexos na forma trigonométrica

  1. Ricardo Dias
    20/04/2012 às 8:13

    Legal suas explicações, todas, e me ajudaram pra caramba, porém precisa limpar os malwares da páginas.

    • 20/04/2012 às 11:31

      Por favor, especifique em quais páginas encontraste malwares.

  2. 14/03/2012 às 23:39

    Muito boa essa explicação ! Ajudou muito mesmo . Obrigada :D

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