Lei do Cosseno e Lei do Seno

Lei dos Cossenos

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Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.  A saber:

 a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A}  b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B} \,\!:  c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C} \,\!
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Demonstração

Esta é uma das maneiras de demonstrar a lei dos cossenos.

Considerando a figura, podemos observar três triângulos:  ABC, BCD, BAD \,\!.

Demons cossenos

Demons cossenos (Photo credit: Wikipedia)

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:  b = n + m \,\! e  m = c \cdot \cos \widehat{A} \,\!.
Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos:

  • Para  BCD \,\!:  a^2 = n^2 + h^2 \,\!
  • Para  BAD \,\!:  c^2 = m^2 + h^2 \,\!

Substituindo  n = b - m \,\! e  h^2 = c^2 - m^2 \,\! em  a^2 = n^2 + h^2 \,\!:

 a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2 \,\!

\Rightarrow a^2 = b^2 - 2b \cdot m + m^2 + c^2 - m^2 \,\!

\Rightarrow a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot m \,\!
Entretanto, pode-se substituir a relação  m = c \cdot cos \widehat{A} \,\!, do triângulo  BAD \,\!, na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

 a^2 = b^2 + c^2 - 2b \cdot c \cdot \cos \widehat{A} \,\!

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

 b^2 = a^2 + c^2 - 2a \cdot c \cdot \cos \widehat{B} \,\!

 c^2 = a^2 + b^2 - 2a \cdot b \cdot \cos \widehat{C} \,\!

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Aplicação

A Lei dos Cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo oposto a esse. Ela também permite calcular todos os ângulos de um triângulo, desde que se saiba o comprimento de todos os lados.

Exemplos

  • Considere um triângulo de lados p\!\,, q\!\, e r\!\,, sendo que o comprimento de p\!\, é 2 metros e o comprimento de q\!\, é \sqrt{3}\,\! metros. Os lados p\!\, e q\!\, definem um ângulo de 30º. Calcule o comprimento de r\!\,.
    • Resolução
Dada a Lei dos Cossenos,  r^2 = p^2 + q^2 - 2p \cdot q \cdot \cos \widehat{A} \,\!, tem-se que p=2\!\,, q=\sqrt{3}\!\, e \widehat{A}=30^\circ \,\!, portanto:
 r^2 = 2^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 - 2\cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ \,\!:  r^2 = 4 + 3 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot {\sqrt{3}\over 2} \,\!:  r^2 = 7 - 2\cdot 3 \,\!:  r^2 = 7 - 6 \,\!:  r^2 = 1 \,\!:  r = 1 \,\!: O comprimento de r\!\, é 1 metro.
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Exemplo 1

Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:

a² = b² + c² – 2 * b * c * cos?
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0

Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:

x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.

Exemplo 2

Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.

Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.

Aplicando a lei dos cossenos

a = 7, b = 6 e c = 5

7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2

O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.

Exemplo 3

Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.

cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5

x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7

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Lei dos senos

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O seno de um ângulo de um triângulo qualquer é proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo. A saber:

 \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r \,\!
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Demonstração

Law of sines.png

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo  ABC \,\! qualquer inscrito em uma circunferência de raio  r \,\!. A partir do ponto  B \,\! pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto  D \,\!, e, ligando  D \,\! a  C \,\!, formamos um novo triângulo  BCD \,\! retângulo em  C \,\!.

Da figura, podemos perceber também que  \widehat{A} = \widehat{D}\,\!, porque determinam na circunferência uma mesma corda  \overline{BC} \,\!. Desta forma, podemos relacionar:

 \mathrm{sen}\, \widehat{D} = \frac{a}{2r}

 \Rightarrow a = 2R \cdot \mathrm{sen}\, \widehat{A}

 \Rightarrow \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = 2r

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos  \widehat{B} \,\! e  \widehat{C} \,\! teremos as relações:

 \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = 2r e  \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r ,

em que  b \,\! é a medida do lado  AC \,\!, oposto a  \widehat{B} \,\!,  c \,\! é a medida do lado  AB \,\!, oposto a  \widehat{C} \,\!, e  2r \,\! é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

  •  \frac{a}{\mathrm{sen}\, \widehat{A}} = \frac{b}{\mathrm{sen}\, \widehat{B}} = \frac{c}{\mathrm{sen}\, \widehat{C}} = 2r \,\!

Exemplo 1

Determine o valor de x no triângulo a seguir.

sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865
sen45º = √2/2 ou 0,705

Exemplo 2

No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.

Para determinarmos a medida de x no triângulo devemos utilizar a lei dos senos, mas para isso precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo utilizamos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Portanto:

α + 105º + 45º = 180º
α + 150º = 180º
α = 180º – 150º
α = 30º

Aplicando a lei dos senos

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Veja também:

Trigonometria – Introdução

Teorema de Pitágoras

Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Agudos

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Aplicações Trigonométricas na Física

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Comprimento de uma Curva

Conversões de Medidas de Ângulos

Calculadora Científica na Trigonometria

Demonstrações Trigonométricas

  1. 23/10/2014 às 0:05

    ótimo bem bacana

  2. 24/09/2014 às 12:42

    E bom

  3. 18/09/2014 às 20:31

    e_desde_quando_o_cosseno_de_120_é:(-0,5)

    • 23/09/2014 às 13:15

      120^0 tá no segundo quadrante, portanto cosseno é negativo sim (oposto do cosseno de 60^0). Tens que estudar ângulos notáveis e arcos côngruos.

  4. Tomas turbando
    05/08/2014 às 19:40

    muito bom

  5. ana
    15/05/2014 às 15:48

    Consegui fazer o trabalho de Matemática, Obriiiiiigado ! [:

  6. kdkkfj@hotmail.com
    14/04/2014 às 23:04

    po vlw, precisava mt aprimorar mais isso, meus simulados da aeronautica estao cada vez mais legais e faceis de entender e assim eu vou aprendendo mais. vlw.

    • 23/04/2014 às 11:17

      Que bom, fico feliz em ajudar.

  7. 21/08/2013 às 23:37

    Muito Obrigado… Essas questões são espetaculares.

  8. Elizabeth Pereira
    04/10/2012 às 17:17

    obrigada.me ajudou muito…

  9. guh balbina
    13/06/2012 às 21:35

    poo trabalho d matematica com esse conteudo ajudo d ++

  10. Caio Lívius
    02/06/2012 às 2:23

    Waldex, além destes exercícios vc disponibiliza mais algum ?
    Em nossa avaliação não cairá leis de senos e cossenos não né ?

    • 02/06/2012 às 3:47

      Caio, vocês serão avaliados com o assunto de Logaritmos e com Trigonometria no triângulo retângulo, conforme havia dito em sala. Colocarei mais exercícios em breve, porém relacionados a Lei dos Senos e Cosseno e Trigonometria na circunferência.

  11. Cristina Alvim
    01/11/2011 às 11:11

    Só quero agradecer. Adoro matemática, embora seja fraca nesta matéria. Continue nos ajudando.

    • 01/11/2011 às 13:21

      Ok, Cristina, sinta-se a vontade para dar sugestões.

  12. Joyce Calori
    24/10/2011 às 16:25

    legal curti

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