Lei do Cosseno e Lei do Seno
Lei dos Cossenos
Faremos, aqui, o estudo da lei dos cossenos e suas aplicabilidades.
Vejamos a demonstração da lei dos cossenos:
Considere o triângulo acutângulo abaixo, sendo CH a altura relativa ao lado AB.
No triângulo BCH, temos que:
Substituindo (II) e (III) em (I), obtemos:
De forma análoga, obtemos:
As três igualdades anteriores são chamadas de Lei dos Cossenos, que diz: “Num triângulo qualquer, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado”.
Lembre-se que a Lei dos cossenos vale para qualquer triângulo.
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1. Determine o valor de x no triângulo ABC acutângulo abaixo.
Solução: Aplicando a lei dos cossenos, temos que:
Exemplo 2. Determine o valor de y no triângulo obtusângulo abaixo.
Solução: Lembrando que a lei dos cossenos também é válida para o triângulo obtusângulo, temos que:
-
Exemplo 3
Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:a² = b² + c² – 2 * b * c * cos?
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0
Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.
Exemplo 4
Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.
Aplicando a lei dos cossenos
a = 7, b = 6 e c = 5
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.Exemplo 5
Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7
- –
- –
LEI DOS SENOS
Faremos o estudo da lei dos senos para um triângulo qualquer.
Vejamos, primeiro, a demonstração de tal lei.
Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB.
No triângulo ACH, temos que:
No triângulo BCH, temos que:
De (I) e (II), obtemos:
Assim, podemos concluir que:
Que é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos.
A demonstração acima foi feita para um triângulo acutângulo, mas a mesma pode ser realizada para qualquer triângulo de forma análoga, chegando ao mesmo resultado.
Vejamos alguns exemplos de aplicação da lei dos senos.
Exemplo 1. Determine o valor de c no triângulo obtusângulo abaixo:
Solução: Aplicando a lei dos senos, teremos:
Sabemos que sen 120o = sen 60o. Assim, teremos:
Exemplo 2. No triângulo acutângulo a seguir, determine o valor de x.
Solução: Utilizando a lei dos senos, temos que:
–
muito bom gostei
Não entendi o segundo exemplo
É aplicação direta da Lei dos Senos, dar uma revisada no assunto e volte ao exemplo.
Q legal,tirou minhas duvidas.
Mais um inscrito…
Eduardo dar uma olhada no assunto redução de arcos ao primeiro quadrante.
que legal , tirou minhas duvidas
muito úti
Foi muito útil a teoria as resoluções, pois me auxiliaram no estudo com minha filha. Parabéns pelo trabalho.
Que bom Adriano!
Olá,professor! Bom dia! Existe seno de 75 em fração?
Att. Rebeca-421
Sim Rebeca, é . Em breve ensinarei como obter seno, cosseno e tangente de ângulos que não são notáveis, como é o caso do 75 graus.
Muito Bacana. Serviu pra fixar os conteúdos que eu ja sabia, através das questões. Obrigado ao site.
Muito bm aprendi bastante sobre o assuntoo
Ola,minha duvida é de como saber qual o valor eu substituo nos lados a, b e c na formula dos cossenos,pois é complicado saber qual o lado seria o a. Se fosse triangulo retangulo o a seria a hipotenusa ,mas nesse ai complica saber.
Ludmila, o a vai ser o lado oposto ao ângulo que você tem o valor. O b e c são os lados que formam esse ângulo. Ok?
Para saber qual lado ficará oposto a qual ângulo,basta que você saiba que cada lado é proporcional ao seu angulo(oposto ao lado),ou seja,o lado maior terá um angulo maior oposto a ele,o lado menor terá o angulo menor oposto a ele e assim também para angulo médio. Espero ter ajudado 🙂
Isso mesmo Joaz. Muito bem!
ótimo bem bacana
E bom
e_desde_quando_o_cosseno_de_120_é:(-0,5)
120^0 tá no segundo quadrante, portanto cosseno é negativo sim (oposto do cosseno de 60^0). Tens que estudar ângulos notáveis e arcos côngruos.
0,5 é o mesmo que 1/2
muito bom
Consegui fazer o trabalho de Matemática, Obriiiiiigado ! [:
po vlw, precisava mt aprimorar mais isso, meus simulados da aeronautica estao cada vez mais legais e faceis de entender e assim eu vou aprendendo mais. vlw.
Que bom, fico feliz em ajudar.
Muito Obrigado… Essas questões são espetaculares.
obrigada.me ajudou muito…
poo trabalho d matematica com esse conteudo ajudo d ++
Waldex, além destes exercícios vc disponibiliza mais algum ?
Em nossa avaliação não cairá leis de senos e cossenos não né ?
Caio, vocês serão avaliados com o assunto de Logaritmos e com Trigonometria no triângulo retângulo, conforme havia dito em sala. Colocarei mais exercícios em breve, porém relacionados a Lei dos Senos e Cosseno e Trigonometria na circunferência.
Só quero agradecer. Adoro matemática, embora seja fraca nesta matéria. Continue nos ajudando.
Ok, Cristina, sinta-se a vontade para dar sugestões.
legal curti
Vcs poderiam falar mais sobre a lei do cossenos e lei de senos
Pofavor