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A Construção da Primeira Tábua de Logaritmos Decimais por Briggs

Neste post, vamos mostrar como Briggs determinou o valor de log2 através um laborioso processo de aproximações sucessivas.

imageSeja log2 = x. Assim, temos que 10x = 2. Vamos inicialmente situar o número 2 entre duas potências de 10, a1 e a2, com expoentes inteiros e sucessivos. Teremos: a1 = 1 e a2 = 10. Deste modo:

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Esquematicamente, temos:

imageAssim, já temos uma primeira aproximação para log2, pois:

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Sendo a3 a média geométrica entre a1 e a2, teremos:

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Vamos agora localizar o valor de a na reta do esquema anterior:

imageConseguimos uma aproximação melhor, pois:

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A escolha de utilizar a média geométrica entre a1 e a2 e não a média aritmética é que se assim fizéssemos, encontraríamos a3 = 5,5 e não conseguiríamos transformar em uma potência de 10:

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o que prejudicaria o processo de sucessões.

Podemos então continuar a repetir as operações tomando agora a média geométrica entre a1 e a3:

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Analogamente, podemos prosseguir as aproximações encontrando:

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Vejam como através das aproximações, fomos “cercando” o número 2:

image

Vejam que conseguimos uma satisfatória precisão de 5 casas decimais. Desta forma, temos que:

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Vamos lembrar que a tabela que Briggs construiu apresentava os logaritmos dos números inteiros de 1 a 1000, com precisão até a 14ª casa decimal! Porém a grande maioria desses logaritmos foi obtida recorrendo-se a outros anteriores calculados. Mas isso não tira o brilho de suas construções. Vejam alguns exemplos:

Considerando que log2 = 0,30103 e log3 = 0,47712, determine:

a) log4

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Então:

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Ou seja:

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b) log5

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Então:

clip_image070[1]

Ou seja:

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c) log6

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Ou seja:

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Fonte: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2011/08/construcao-da-primeira-tabua-de.html

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