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Gauss, O Príncipe da Matemática

Um professor, para manter seus alunos ocupados, mandou que somassem todos os números de um a cem. Esperava que eles passassem bastante tempo executando a tarefa. Para sua surpresa, em poucos instantes um aluno de sete ou oito anos chamado Gauss deu a resposta correta: 5.050. Como ele fez a conta tão rápido? Gauss observou que se somasse o primeiro número com o último, 1 + 100, obtinha 101. Se somasse o segundo com o penúltimo, 2 + 99, também obtinha 101. Somando o terceiro número com o antepenúltimo, 3 + 98, o resultado também era 101. Percebeu então que, na verdade, somar todos os números de 1 a 100 correspondia a somar 50 vezes o número 101, o que resulta em 5.050. E assim, ainda criança Gauss inventou a fórmula da soma de progressões aritméticas. Gauss viveu entre 1777 e 1855 e foi sem dúvida um dos maiores matemáticos que já existiram. É por muitos considerado o maior gênio matemático de todos os tempos, razão pela qual também é conhecido como o Príncipe da Matemática.

SOMANDO TODOS OS NÚMEROS DE 1 A 100

Vamos ver como Gauss percebeu rapidamente que a soma de todos os números de 1 a 100 resulta em 5.050. Para isso, vamos somar os termos de dois em dois, de uma forma bem especial. Veja:

1  + 100 = 101,
2  + 99 = 101,
3  + 98 = 101,
4  + 97 = 101,
.
.
.
47  + 54 = 101,
48  + 53 = 101,
49  + 52 = 101,
50  + 51 = 101.

Nas somas acima, ocupando o lugar da primeira parcela temos todos os números de 1 a 50. No lugar da segunda parcela, temos todos os números de 51 a 100. São 50 somas e cada uma delas resulta sempre no mesmo número: 101. Portanto, para somar todos os números de 1 a 100 basta somar 50 vezes 101, isto é, calcular 50 x 101 = 5050.

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

A soma de todos os números de 1 a 100 é um caso particular de soma de uma progressão aritmética (PA). Uma PA é uma sucessão de números em que a diferença entre dois números consecutivos é sempre a mesma. Por exemplo:

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26

é uma PA de razão 3 (a diferença entre dois termos consecutivos é sempre igual a 3).

O método usado por Gauss serve para calcular a soma dos termos de qualquer PA. Vamos utilizá-lo para a PA acima:

5  + 26 = 31,
8  + 23 = 31,
11  + 20 = 31,
14  + 17 = 31.

Logo, a soma dos termos da PA dada é 4 x 31 = 124.

A partir destas observações, vemos que para calcular a soma dos termos de qualquer PA basta somar o primeiro termo com o último e multiplicar por metade da quantidade de termos que tem a PA. Isto é, se:

  • a1 é o primeiro termo,
  • an é o último termo e
  • n é o número de termos da PA,

a soma de todos os termos da PA poderá ser calculada pela fórmula:

S = n (a1 + an)/2.

Para saber mais sobre progressões aritméticas, acesse http://www.uff.br/cdme/afim/.

Fonte: http://www.uff.br/sintoniamatematica/curiosidadesmatematicas/curiosidadesmatematicas-html/audio-gauss-br.html

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