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Aplicação de Números Complexos na Engenharia Elétrica

Em circuitos de corrente alternada, por exemplo, as instalações elétricas  residenciais, as grandezas elétricas são analisadas com o auxílio dos  números complexos, o que facilita muito os cálculos.  A relação U=Ri, estudada na Física do ensino médio e que utiliza dos  números reais, torna-se U=Zi, em que U é a tensão, Z é a impedância  e i é a corrente elétrica. Sendo que essas grandezas passam a ser  representadas através de números complexos.  Para que não haja confusão entre i, símbolo da corrente elétrica, e i, unidade imaginária, os engenheiros elétricos usam j como unidade imaginária  na representação algébrica a+bj.  Além disso usam a notação |w|\angle\theta para forma trigonométrica |w|\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)  do número complexo w. Com base no texto acima, vamos resolver o problema a seguir:

Uma fonte de tensão, de valor eficaz 220\angle 0^0, alimenta uma carga de  impedância Z=(10+10j) ohm. Vamos obter a corrente fornecida pela fonte.

Solução: 

U=Zi\Rightarrow i=\frac{U}{Z}. Para efetuar essa divisão,é preferível ter U e Z  na forma trigonométrica.

Já temos U=220\angle 0^0=220(\cos 0^0+i\sin 0^0), e agora precisamos obter a forma  trigonométrica de Z:

Z=10+10j\Rightarrow |Z|=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}

Segue que

\left.\begin{array}{l} cos\theta=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ \sin\theta=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right\}\Rightarrow \theta=45^0

Então: 10+10j=10\sqrt{2}\left(\cos 45^0+i\sin 45^0\right) =10\sqrt{2}\angle 45^0. Assim a corrente fornecida pela fonte é dada por:

i=\frac{U}{Z}=\frac{220}{10\sqrt{2}}\left(\cos(0^0-45^0)+i\sin(0^0-45^0)\right)=11\sqrt{2}\left[\cos(-45^0)+i\sin(-45^0)\right]

i=11\sqrt{2}\left[\cos(45^0)-i\sin(45^0)\right]

i=11\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}j\right)

i=11-11j (ou 11\sqrt{2}\angle -45^0)

Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 1ª ed. Vol. 3. São Paulo: Ática, 2010.

Lei também o texto:
 Que importância têm os números imaginários na nossa vida?

Aplicação dos Números Complexos na Engenharia Estrutural

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