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O número e

Um importante número irracional em Matemática é o número e=2,718281828459\dots . Para introduzi-lo, vamos considerar a expressão (1+x)^{\frac{1}{x}}, definida em \mathbb{R}^*, e estudar os valores que ela assume quando x se aproxima de zero:

x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
(1+x)^{\frac{1}{x}} 2,594 2,705 2,717 2,7182 2,7183

Na tabela acima, podemos observar que, à medida que x se aproxima de zero, a expressão, (1+x)^{\frac{1}{x}}, fica mais próxima do número e=2,7183 .

Considerando os valores negativos de  x, porém cada vez mais próximos de zero (por exemplo,  x=-0,1;  x=-0,01x=-0,001, etc.), a expressão também fica cada vez mais próxima de  e=2,7183. Calcule você mesmo com o auxílio de uma calculadora científica!

Dizemos então que (1+x)^{\frac{1}{x}} tende a e quando x tende a 0 ou ainda que o limite de  (1+x)^{\frac{1}{x}}, quando x tende a 0, é igual ao número e. Representamos esse fato por \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e.

A descoberta do número e é atribuída a John Napier, em seu trabalho de invenção dos logarítmos, datado de 1614. Nele, Napier introduziu, de forma não explícita, o que hoje conhecemos como e. Um século depois, com o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, o número e teve sua importância reconhecida. O símbolo e foi introduzido por Euler, em 1739.

Muitas calculadoras científicas e financeiras possuem a tecla e^x; dessa forma, em geral, não é necessário substituir e pela aproximação dada acima, bastando teclar o expoente x para conhecer o resultado da potência e^x.

Veja:

  • Para calcular e^2 teclamos e^x e depois 2 , obtendo aproximadamente 7,389. Experimente!
  • Para calcular e^{10} teclamos e^x e depois 10, obtendo aproximadamente 22.026,46.
OBS.: Em alguns modelos de calculadora a ordem das teclas pode ser invertida.
A função f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_+^* definida por f(x)=e^x é a função exponencial de base e, cujo gráfico é dado a seguir:
A função exponencial é achatada para x negativos, e cresce rapidamente para x positivos.
A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste. Podemos dizer então que o eixo x é uma assíndota horizontal para a função ex
Fonte: Matemática, Ciência e Aplicações. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; etc. Livro do primeiro ano do Ensino Médio.
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