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Cálculo de raiz quadrada aproximada-Parte III (Método Babilônico)

Um algoritmo frequentemente usado para aproximar \scriptstyle \sqrt{n} é conhecido como “método babilônico” (porque, especula-se, este era o método usado na Matemática Babilônica para calcular a raiz quadrada. Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir:

  1. Inicie com um número positivo arbitrário r (preferencialmente próximo da raiz);
  2. Faça a divisão \scriptstyle \frac{n}{r};
  3. Calcule a média entre r e n/r
  4. Repita o segundo passo para obter uma aproximação melhor.

Este algoritmo é quadraticamente convergente, que significa que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição. Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam de muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas). Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão:

Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.

  1. Ache o menor quadrado perfeito que mais se aproxima do número dado. Nesse caso o quadrado que mais se aproxima é 64. Nota: Usa-se sempre o quadrado menor que o número procurado, mesmo que o quadrado maior seja mais próximo.
  2. Extraia a raiz quadrada do quadrado que mais se aproximou. A raiz quadrada de 64 é 8. Nesse exemplo chamaremos 8 como A (A = 8).
  3. Divida o número original por A, ou seja, 66 / 8 = 8,2. Nesse exemplo chamaremos 8,2 como B (B = 8,2).
  4. Somamos A com B e dividimos por 2.
    8 + 8,2 = 16,2
    16,2 / 2 = 8,1
    O resultado chamaremos de C (C = 8,1).
  5. Agora dividimos o número original (nesse caso 66) por C.
    66 / 8,1 = 8,148
    O resultado chamaremos de D (D = 8,148).
  6. Novamente, usando do mesmo procedimento, somaremos C e D e dividimos por 2.
    8.1 + 8.148 = 16.248
    16.248 / 2 = 8,124
    Esse número chamaremos de E (E = 8,124).

Esse seria aproximadamente a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora teremos: 8,12403840463596… Ou seja, esse é um bom método para se achar aproximadamente uma raiz quadrada.

Aplicando para calcular a raiz quadrada de 7, que utilizamos como exemplo no método anterior, temos:

  1. O menor quadrado perfeito que mais se aproxima do número 7 é 4.
  2. A raiz quadrada de 4 é 2. Então seja A=2.
  3. Dividindo 7 por A, temos 7/2=3,5. Chamaremos então 3,5 de B (B=3,5)
  4. Calculando a média entre A e B, temos: \frac{A+B}{2}=\frac{2+3,5}{2}=2,75, a qual chamaremos de C (C=2,75).
  5. Dividindo o valor original 7 por C: 7/2,75=2,54. Seja D=2,54
  6. Calculando a média entre C e D, temos: \frac{C+D}{2}=\frac{2,54+2,75}{2}=2,64.
  7. Esse valor é a mesma aproximação que encontramos aplicando o primeiro método. Porém se quisermos continuar para obter uma aproximação melhor, podemos chamar esse valor de E, ou seja, E=2,64 e dividir o valor original 7 por ele: 7/2,64=2,65. A esse valor chamaremos de F, ou seja, F=2,65.
  8. Calculando a média, temos $latex \frac{E+F}{2}=\frac{2,64+2,65}{2}=2,645$, que é uma aproximação com três cadas decimais para a raiz de 7.

Em geral podemos utilizar o algoritmo:

clip_image002

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Onde, para cada iteração (ak , bk), para todo k = 1, 2, 3, …, encontramos uma raiz n mais aproximada.

O erro da aproximação é dado por E = |(bk)2n|. Se o valor absoluto da diferença entre (bk)2 e n for menor do que a precisão ε, então tome como raiz aproximada.

Exemplo: Aproximar √3 pelo algoritmo babilônico com precisão de $latex \epsilon= 1*10^{-4}$. Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, vamos tomar como aproximação inicial a0 = 1,5.

Calculamos:

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Testamos o erro da aproximação inicial b0. Como E = |22 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 1

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clip_image022

Como E = |1,7142857142 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 2

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Como E = |1,7319587622 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 3

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clip_image042[1]

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Como E = |1,73205080512 – 3| < 10– 4, paramos as iterações e tomamos bcomo uma raiz aproximada √3, com precisão até a décima casa decimal! Vale lembrar que, se continuarmos as iterações k, termos uma aproximação cada vez melhor da raiz.

Fontes: https://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada e http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/
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