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Cálculo de raiz quadrada aproximada- Parte IV (Eq. de Pell e Aritmética Mental)

Equação de Pell

A equação de Pell permite encontrar a parte inteira de uma raiz quadrada simplesmente subtraindo inteiros ímpares. Por exemplo, para calcular a parte inteira da raiz quadrada de 19, calcula-se a sequência:

   1. 19 – 1 = 18
   2. 18 – 3 = 15
   3. 15 – 5 = 10
   4. 10 – 7 = 3

Como 3 é menor que 9, a sequência para aqui. Como 4 subtrações foram efetuadas, então a resposta é 4

Ou seja, para calcular a parte inteira da raiz quadrada n de um número inteiro positivo m, pode ser usado o seguinte trecho de programa:

   n = 0
   i = 1
   while (m >= i){
      m = m – i;
      i = i + 2;
      n = n + 1;
   }

Observe-se que se n é a raiz exata, o valor final de m é zero.

Encontrando raízes quadradas usando aritmética mental

Baseado na Equação de Pell’s este é um método para obter a raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares.

Ex: Para obter \scriptstyle \sqrt{27} nós começamos com a seguinte sequência:

  1. \scriptstyle 27-1 = 26
  2. \scriptstyle 26-3 = 23
  3. \scriptstyle 23-5 = 18
  4. \scriptstyle 18-7 = 11
  5. \scriptstyle 11-9 = 2

5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5.

Efetua-se: resultado do último passo * 100 e número de passos da sequência anterior * 20 + 1

\scriptstyle 2\times 100 = 200 e \scriptstyle 5\times 20 + 1 = 101

  1. \scriptstyle 200-101 = 99

O próximo número é 1.

Em seguida efetua-se: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1

\scriptstyle 99\times 100 = 9900 e \scriptstyle 51\times 20 + 1 = 1021

  1. \scriptstyle 9900-1021 = 8879
  2. \scriptstyle 8879-1023 = 7856
  3. \scriptstyle 7856-1025 = 6831
  4. \scriptstyle 6831-1027 = 5804
  5. \scriptstyle 5804-1029 = 4775
  6. \scriptstyle 4775-1031 = 3744
  7. \scriptstyle 3744-1033 = 2711
  8. \scriptstyle 2711-1035 = 1676
  9. \scriptstyle 1676-1037 = 639

O próximo número é 9.

O resultado nos dá 5,19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27.

Aplicando este método ao exemplo do cálculo da raiz aproximada de 7, temos:

Parte I:

  1. 7-1=6
  2. 6-3=3

Como o resultado 3 é menor do que o próximo número impar 5, então a parte inteira da raiz de 7 é 2.

Passo II: Efetua-se: resultado do último passo * 100 e número de passos da sequência anterior * 20 + 1

Como o resultado do último passo foi 3, então temos 3*100=300. Tivemos dois passos, assim: 2*20+1=41

Então temos,

  1. 300-41=259
  2. 259-43=216
  3. 216-45=171
  4. 171-47=124
  5. 124-49=75
  6. 75-51=24

Como 24 é menor do que o próximo número impar da sequência então o primeiro número da casa decimal da raiz aproximada de 7 é o número de passos, ou seja, número 6. Assim já temos uma primeira aproximação para a raiz quadrada de 7 que é 2,6, ou seja, \sqrt{7}\approx 2,6.

Buscando uma aproximação melhor, continuaremos aplicando o método:

Parte III: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1

O resultado do último passo foi 24, dai 24*100=2400. Número de passos da primeira sequência foi 2 (2*10=20), o número de passos da segunda sequência foi 6 (20+6=26). Multiplicando este valor por 20 e somando 1, temos 26*20+1=521. Segue que:

  1. 2400-521=1879
  2. 179-523=1356
  3. 1356-525=831
  4. 831-527=304

Como 304 é menor do que o próximo número impar 529, então paramos o processo. Assim o próximo número da aproximação da raiz de 7 é 4. Logo a aproximação para raiz do número 7 é 2,64, ou seja, \sqrt{7}\approx 2,64.

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Raiz_quadrada

  1. 27/06/2016 às 23:21

    Como eu faria para chegar a terceira casa decimal? Estou criando um algoritmo que funciona muito bem com essa lógica, mas apenas para o cálculo até a segunda casa, pois a lógica utilizada para gerar o número ímpar na terceira casa não funciona. Tentei fazer de várias formas.

    • 28/06/2016 às 21:54

      Rogério, é simples, basta continuar seguindo o raciocínio.
      Para a segunda casa decimal fizemos: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1
      Agora para a terceira casa decimal você faz: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 100) + (número de passos da segunda sequência*10)+(número de passos da terceira sequência)) * 20 + 1
      Espero ter ajudado!

      • 28/06/2016 às 23:39

        Muito obrigado! Funcionou! Agora é só criar o código nível hard, rsrs

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