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Cálculo de raiz quadrada aproximada – Parte VI (Método de Herão)

Herão de Alexandria foi um matemático de destaque com muita controvérsia sobre a época em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C.. seus trabalhos de Matemática e Física são numerosos e variados, sendo considerado um enciclopedista. Em seu Livro A Métrica, encontra-se o método de Herão de aproximar a raiz quadrada de um número inteiro não-quadrado perfeito. Tal método é hoje utilizado com freqüência por computadores e permite sucessivas aproximações.

Dada a raiz quadrada de um número n, assumindo a0 como uma aproximação inicial, temos:

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Uma melhor aproximação será dada pela próxima iteração:

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Assim prossegue e a cada iteração melhora a aproximação da raiz.

Após a escolha da aproximação inicial a0, podemos construir o algoritmo:

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Onde, para cada iteração k, para todo k = 1, 2, 3, …, encontramos uma raiz akmais aproximada de n.

Surge então a questão: Até quando essas iterações seguem-se? Para evitar que o programa entre numa rotina de cálculos infinitos, inicialmente devemos impor limites, não para as iterações, mas para o erro da aproximação. Ou seja, se quisermos obter uma aproximação de uma raiz com pelo menos 5 casas decimais corretas, com o erro E < 10– 5 , por exemplo, devemos impor uma precisão ε = 1 . 10– 5 e devemos, a cada iteração, fazer o teste da raiz aproximada para checar se satisfaz a precisão ε imposta inicialmente. O erro é dado por E = |(ak)2 – n|. Se o valor absoluto do quadrado da raiz aproximadaak, subtraída de n for menor que a precisão ε, então tome acomo raiz aproximada.

Exemplo: Aproximar √3 pelo método de Herão com precisão de ε = 1 . 10– 4.

Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, tomamos como aproximação inicial a0 = 1,5.

Testamos o erro da aproximação inicial a0. Como |1,52 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

Fazemos:

k = 1

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Como |1,752 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 2

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Como |1,7321428572 – 3| > 10-4, continuamos as iterações:

k = 3

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Como |1,7320581001472 – 3| < 10-4, tomamos a3 como raiz aproximada de √3, com precisão até a sétima casa decimal.

NO link abaixo disponibilizamos um programa em Linguagem em C para tal algoritmo.

PROGRAMA EM C PARA CALCULAR RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO n UTILIZANDO O MÉTODO DE HERÃO

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Fonte: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/mtodo-de-hero-para-aproximao-de-raz.html

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