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Logaritmos Decimais – Parte II (Utilizando Tábuas para Calcular Logaritmos)

Normalmente, toda calculadora científica possui a função que permite calcular o valor do logaritmo decimal ou de base 10 de um número.

A figura abaixo exibe a calculadora do Windows XP no modo científico, com o resultado do logaritmo decimal de 127.

Observe que estão assinalados a característica do logaritmo (a parte inteira), a mantissa (a parte decimal) com 31 casas e a função log que efetua o cálculo.

O objetivo é obter esse resultado, com menos casas decimais, a partir dos conceitos de característica e mantissa do logaritmo decimal.

Calculadora - Logaritmo de 127

A mantissa, como veremos, é obtida a partir da tábua de logaritmos (ou tabela logarítmica) apresentada abaixo. A tabela contém a mantissa, com quatro casas decimais, dos logaritmos decimais de 10 a 309.

Henry Briggs, matemático inglês (1561-1630), foi quem publicou a primeira tábua de logaritmos de 1 a 1000 em 1617.

Característica de um logaritmo decimal

Antes de estabelecer o conceito de característica de um logaritmo decimal, vamos “tentar” calcular o logaritmo de 127. Pela definição de logaritmo temos que:

log 127 = x => 10x = 127

Claramente se observa que não existe nenhum x inteiro que satisfaça essa igualdade. No entanto, podemos inferir facilmente que:

102 < 10x (= 127) < 103

E daqui, que o valor de x está entre 2 e 3, ou seja:

2 < x < 3 => 2 < log 127 < 3

Desta forma, podemos estabelecer uma relação semelhante para qualquer logaritmo de um número inteiro positivo maior que 1. E, no caso, por exemplo, de log 0,0127. Por raciocínio análogo, vemos que:

log 0,0127 = x => 10x = 0,0127

Ou seja:

0,01 < 0,0127 < 0,1 => 10-2 < 10x < 10-1 => -2 < x (= log 0,0127) < -1

A partir dos exemplos, que é consequência do fato de que qualquer número real positivo está necessariamente entre duas potências de 10 de expoentes inteiros consecutivos, pode-se concluir que o log b (b um número maior do que 0) está situado entre dois números inteiros e consecutivos, isto é, podemos sempre determinar um número inteiro c tal que:

c < = log b < c + 1

Ao número c damos o nome de característica de log b. Ou, alternativamente, podemos definir a característica como o maior número inteiro que não supera o logaritmo decimal.

Dos exemplos, podemos, então, estabelecer as duas seguintes regras para determinar a característica de log b:

Regra 1:

Se b > 1, a característica de log b é o número de algarismos que antecedem a vírgula subtraído de uma unidade.

Exemplos:

  1. log 127 => c = 3 – 1 = 2
  2. log 12,756 => c = 2 – 1 = 1
  3. log 3756,12 => c = 4 – 1 = 3

Regra 2:

Se 0 < b < 1, a característica de log b é o simétrico da quantidade de zeros que antecedem o primeiro algarismo diferente de zero.

Exemplos:

  1. log 0,0127 => c = -2
  2. log 0,00056 => c = -4
  3. log 0,83 => c = -1

Fica claro dos fatos anteriores que o logaritmo decimal de um número b > 0 pode ser escrito como:

log b = c + m

onde c é um número inteiro (a característica) e m (a mantissa) um número decimal maior ou igual a zero e menor do que 1 (0 =< m < 1).

Mantissa

A mantissa m, em geral um número irracional, é obtida da tabela logarítmica a seguir, que fornece, apenas, os valores aproximados dos logaritmos de 10 a 309.

Voltando ao exemplo inicial vamos determinar a mantissa de log 127 com o uso da tabela: se encontra na interseção da linha com o número 12 com a coluna com o número 7, cujo valor é 1038, o que significa que m = 0,1038 e portanto:

log 127 = 2 + 0,1038 = 2,1038

Compare com o valor obtido com o uso da calculadora e veja que corresponde ao valor até a quarta casa decimal.

Propriedade da Mantissa:

A mantissa do logaritmo decimal de b não se altera se multiplicarmos b por um potência de 10 com expoente inteiro.

A propriedade é decorrência de:

log b.10x = log b + log 10x = log b + x.log 10 = log b + x

Note que, na expressão acima, o que muda no cálculo do logaritmo é o valor da característica que é acrescida (ou decrescida) do valor x correspondente ao expoente da potência. Por exemplo:

log 12 = 1 + 0,0792 e log 120 = 2 + 0,0792 = 1 + 0,0792 + 1

Veja na tabela que a mantissa de log 12 e log 120 são iguais.

Uma consequência dessa propriedade é: Os logaritmos de números cujas representações decimais diferem apenas pela posição da vírgula têm mantissas iguais.

Exemplo:

Os logaritmos decimais de 127, 1270, 0,127, 12,7 e 0,0127 têm mantissa igual a 0,1038 e caracaterísticas 2, 3, -1, 1 e -2 respectivamente.

Tabela Logarítmica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788
2 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624
3 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911
4 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902
5 6990 7076 7160 7243 7324 7404 7482 7559 7634 7709
6 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388
7 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976
8 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494
9 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430
14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133
26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900
 Disponibilizamos também um arquivo PDF com uma tábua de logaritmos decimais para download completa, assim você poderá imprimi-la em apenas uma folha se assim desejar, utilizando as duas faces da mesma.

Aprendemos que podemos obter, a partir da tabela acima, a mantissa do logaritmo de qualquer número real positivo, que após a colocação da vírgula à direita do primeiro algarismo diferente de zero, resulte em um número com até três algarismos, mas como obter a mantissa do log 35,79 por exemplo?

O log 35,79 é maior que o log 35,7 e menor que o log 35,8.

Como o log 35,7 e o log 35,8 nós temos condição de obter em função da tabela, pois eles têm três algarismos, então através de uma interpolação linear podemos montar a seguinte equação:

Recorrendo à tabela e aplicando os conhecimentos adquiridos na série de artigos sobre logaritmos, temos quelog 35,7 = 1,552668 e log 35,8 = 1,553883, o que nos permitir calcular o valor de x:

Agora temos como calcular aproximadamente o log 35,79 e obtermos a sua mantissa:

Como estamos trabalhando com apenas seis casas decimais, podemos arredondar 1,5537615 para 1,553762, então olog 35,79 = 1,553762.

Finalmente, a mantissa do log 35,79 calculada através de interpolação linear é 553762.

Exemplo ilustrado
Através da Tábua de logaritmos, calcule por intermédio da interpolação linear o logaritmo decimal de 128,4.
Resolução
Da Tábua de logaritmos obtemos log128 = 2,1072 e log129 = 2,1106.
Localizando os pontos A (128; 2,1072), B (128,4; log128,4) e C (129; 2,1106) no gráfico da função logarítmica de base 10:

Para fazer a interpolação linear você deve considerar que o gráfico y = log10x entre os pontos A e C é um segmento de reta, ou seja, uma considerável aproximação, já que estes pontos estão afastados da origem.

Com as semelhanças entre os triângulos ABP e ACQ obtemos o valor de x:

 

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