Fatorial

Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!.

Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial.

5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.

Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.

Abaixo, no final da página, temos uma tabela com os 28 primeiros fatoriais. Repare que apesar do número 27 ser relativamente baixo, o seu fatorial possui 29 dígitos!

Escrevendo um fatorial a partir de um outro fatorial menor

Vimos que 5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1, mas note que também podemos escrevê-lo de outras formas, em função de fatoriais menores, tais como 4!, 3! e 2!:

  1. 5! = 5 . 4!
  2. 5! = 5 . 4 . 3!
  3. 5! = 5 . 4 . 3 . 2!

 

Para um fatorial genérico temos:

n! = n . (n – 1)!  =  n . (n – 1) . (n – 2)!  =  n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . … . 1!

Observe atentamente os exemplos seguintes:

  1. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2)!
  2. (n + 3)! = (n + 3) . (n + 2) . (n + 1)!
  3. (n + 1)! = (n + 1) . n!

 

Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para termos uma visão mais clara destas sentenças:

  1. 9! = 9 . 8!
  2. 9! = 9 . 8 . 7!
  3. 7! = 7 . 6!

 

Estes conceitos são utilizados em muitos dos problemas envolvendo fatoriais.

 

Simplificação envolvendo fatoriais

Observe a fração abaixo:

Vimos que 5! é equivalente a 5! = 5 . 4 . 3!. Então podemos escrever a fração da seguinte forma:

Agora podemos simplificar o 3! do numerador com o 3! do denominador. Temos então:

Veja outros exemplos:

 

 

 

 

Exemplos de problemas envolvendo fatoriais

EnunciadoQual deve ser o valor numérico de n para que a equação (n + 2)! = 20 . n! seja verdadeira?

O primeiro passo na resolução deste problema consiste em escrevermos (n + 2)! em função de n!, em busca de uma equação que não mais contenha fatoriais:

Conforme explicado na página onde tratamos sobre o cálculo rápido das raízes de equações do segundo grau, podemos resolver rapidamente esta equação respondendo à seguinte pergunta: Quais são os dois números cuja soma é igual a -3 e cujo produto é igual -18?

Rapidamente concluímos que as raízes procuradas são -6 e 3, mas como não existe fatorial de números negativos, já que eles não pertencem ao conjunto dos números naturais, ficamos apenas com a raiz igual a 3.

Portanto:

RespostaO valor numérico de n para que a equação seja verdadeira é igual a 3.

 


 

EnunciadoA partir de fatoriais, obtenha uma sequência com sete números compostos consecutivos.

Como eu devo obter 7 números compostos consecutivos na sequência, eu preciso partir ao menos de 8!:

8! = 8 . 7 . 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40320

Como 8! é igual a 40320, o primeiro número da sequência será 40320 + 2 = 40322 e o último será 40320 + 8 = 40328.

Logo:

RespostaA sequência 40322, 40323, 40324, 40325, 40326, 40327 e 40328 satisfaz as condições do enunciado.

Tabela com os fatorais de 0 a 27

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
12 479001600
13 6227020800
14 87178291200
15 1307674368000
16 20922789888000
17 355687428096000
18 6402373705728000
19 121645100408832000
20 2432902008176640000
21 51090942171709440000
22 1124000727777607680000
23 25852016738884976640000
24 620448401733239439360000
25 15511210043330985984000000
26 403291461126605635584000000
27 10888869450418352160768000000

 

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