Equação Exponencial

Para termos uma equação devemos ter uma igualdade, ou seja, “alguma coisa igualada à outra”.

E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente x) colocada no expoente (potência). Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades que acabamos de estudar.

Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado. Quando nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES de ambos os lados da igualdade. Isso mesmo, o objetivo é esse IGUALAR AS BASES. Veja abaixo vários exemplos resolvidos.

expo1.gif (1014 bytes)

Esta é a nossa equação exponencial. Temos uma igualdade e veja que sua variável (x) está como expoente do termo à esquerda desta igualdade.
Bom, o nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorar ambos os lados:

expo2.gif (1019 bytes)

O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base. Chegamos ao objetivo. Agora devemos “CORTAR” as bases de ambos os lados.

expo3.gif (1051 bytes)

Pronto, com as bases “cortadas” mantemos os expoentes e calculamos uma equação do primeiro grau.

x=2

Esta é a solução!!

Vejam agora um exemplo um pouquinho mais difícil:

expo4.gif (1081 bytes)

O nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os lados.

expo5.gif (1229 bytes)

Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação

expo6.gif (1314 bytes)

Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau novamente.

2x-2=5

Aplicando as propriedades operatórias.

2x=5+2
2x=7
x=7/2

Esta é a solução

Vamos aumentar mais uma vez o nível.

expo7.gif (1238 bytes)

Novamente começamos fatorando.

expo8.gif (1351 bytes)

Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.

expo9.gif (1483 bytes)

Com as bases iguais vamos operar os expoentes

expo10.gif (1767 bytes)

Esta é a nossa solução x=4

Mais um exemplo um pouco mais difícil.

expo11.gif (1102 bytes)

Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoento no expoente. Note que teremos que igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar

expo12.gif (1065 bytes)

Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes.

expo13.gif (1029 bytes)

Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases.

expo14.gif (1050 bytes)

Corta-se as bases.

x+1=2
x=2-1
x=1

Esta é a nossa solução, x=1

Novamente vamos aumentar a dificuldade:

expo15.gif (1097 bytes)

Como sempre, vamos fatorar.

expo16.gif (1288 bytes)

Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para multiplicação e divisão de mesma base.

expo17.gif (1592 bytes)

Pronto, objetivo alcançado. Cortando…

8x-7=x-3
8x-x=7-3
7x=4
x=4/7

Esta é a solução

Agora com mais raízes.

expo18.gif (1122 bytes)

Esta parece ser bem mais difícil, né?? Mas a dificuldade é a mesma, você precisa ter os mesmo conhecimentos para resolve-la. As bases já estão definidas, vai ser 2. O que devemos fazer é transformar o lado esquerdo em uma única raiz usando as propriedades de radiciação. Vamos primeiro trabalhar no 2 mais de dentro.

expo19.gif (1139 bytes)

Agora é só fazer a multiplicação de potências de mesma base.

expo20.gif (1376 bytes)

Uma raiz já foi. Vamos fazer a mesma coisa com as outras.

expo21.gif (1825 bytes)

Mais uma vez para matar a última raiz.

expo22.gif (999 bytes)

Bases iguais, corta-las…

expo23.gif (1223 bytes)

Agora é só operar e isolar “x”.

expo24.gif (1772 bytes)

Esta é a nossa solução.

Veja uma que precisa de Bhaskara para resolver:

expo25.gif (958 bytes)

Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado. Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 (Xo=1). Então o lado direito da igualdade pode ser 3o.

expo26.gif (978 bytes)

Agora com as bases igualadas vamos corta-las.

x2-x-6=0

Agora é uma equação do segundo grau. Aplicando Bhaskara achamos suas raízes.

{-2 e 3}

Esta é a solução, “x” pode ser qualquer um destes valores.

Última agora

3·2x+3=192

A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases temos que “passar” o três que está multiplicando para o lado direito dividindo.

2x+3=192/3

Efetuando o cálculo

2x+3=64

Agora sim!!! Fatoramos para igualar as bases.

2x+3=26

Cortando…

x+3=6
x=6-3
x=3

Esta é a nossa solução.

Existem alguns tipos de equações exponenciais que necessitam de uma outra forma de resolução. Veja o exemplo:

2·22x-6·2x-8=0

Se quiséssemos simplesmente igualar as bases, não conseguiríamos (tente você), pois aquele número 8 está atrapalhando.

Para resolver esta questão temos que usar uma nova técnica. Esta técnica consiste em trocar a variável (calma lá, vou explicar direirtinho).

Esta equação pode ser escrita da seguinte forma sem perder seu valor:

2·(2x)2-6·2x-8=0

Agora que entra a nova técnica. Vamos substituir o valor de “2x pela variável “y” criada por nós. Veja como fica:

2x = y

2y2 – 6y – 8 = 0

Veja que caímos em uma equação do segundo grau.

Calculando as raízes por Bhaskara achamos y=4 e y=-1.

Atenção: aqui temos um pega-ratão, tem que ficar esperto! Estes valores (4 e -1) não são as respostas do problema, pois são os valores de “y“, a variável que nós criamos.

O problema pede os valores de “x”. Para acharmos os valores de “x” devemos calcular a igualdade2x=y com os valores de “y” que calculamos:

y = 2x4 = 2x2= 2xx = 2 y = 2x-1 = 2xEsta resposta não existe, pois não há nenhum expoente que possamos elevar o 2 e dê um resultado negativo, no caso -1.

Portanto, a resposta é x=2


Tente resolver o próximo, depois veja a resolução abaixo (Gabarito é letra “D”).

1)(PUC-RS) A soma das raízes da equação fexpo1.gif (1102 bytes) é

    (A) 10
(B) 8
(C) 4
(D) 2
(E) 1

Primeiro vamos organizar a equação de modo que fique mais fácil fazer a troca de variável:

fexpo2.gif (1224 bytes)

Agora está pronta para trocar. Vamos dizer que 4x=y , trocando:

fexpo3.gif (1510 bytes)

Aí está a equação do segundo grau que devemos calcular, mas antes vamos arrumá-la: tirar MMC …

fexpo4.gif (1224 bytes)

Aplicando Bhaskara achamos as raízes {2 e 8} , olha o pega ratão!!! Estes são os valores de “y” , e o problema pede a soma dos valores de “x” , não vá marcar letra “A” . Para achar os valores de “x” devemos substituir o “y” na equação 4x=y que criamos no início:

4x=y
4x=2
22x=2
2x=1

x=1/2

4x=y
4x=8
4x=23
22x=23
2x=3

x=3/2

Estas são as duas respostas, como o problema pede a soma:

1/2 + 3/2 = 4/2 = 2

Resposta certa letra “D”.

Refaça tais exemplos no seu caderno. No livro de Iezzi, vol. 2 (tem na Biblioteca do IFBA) tem outros exemplos semelhantes.

Nos link abaixo, você encontra mais resoluções de equações exponenciais:

Exercícios de Equações Exponenciais I


  1. Henrique
    03/07/2015 às 4:41

    Muito bacana.

  2. Renato José Araujo Dos Santos
    03/06/2014 às 1:07

    me perdoe, pois gostaria que me explicasse como se resolve esta equação 2 elevado à dois x menos 9.2elevado à x+8=0 e a outra seria 10.2 elevado à x+3=10. não sei se fui bem explicito, quanto a minha duvida, se puder me ajudar , agradeço de coração, valeu ..

  3. 10/05/2014 às 2:49

    amigo muito boa suas explicações,realmente aprendi bastante, apenas não entendi e olha que procurei em todos os site principalmente nas propriedades das radiciação e não conseguir uma maneira de entender o sexto exercicio o de raiz de dois 3 (vezes), como é esta propriedade ? como achamo aquele resultado?

    • 10/05/2014 às 20:55

      Olá renato, foi utilizado a propriedade que relaciona radiciação a potenciação. Quando você transforma raiz em potência, o expoente do radicando vira numerado e o índice vira denominador da potência.
      Por exemplo: \sqrt[3]{5^2} é equivalente a 5^\frac{2}{3}. Observe que transformamos a raiz em potência com expoente fracionário, onde 2 que era expoente se torno numerador da fração e 3 que era índice da raiz ficou como denominador.

      Do mais, utilizamos as propriedades de multiplicação de bases iguais. Indico que você consulte livros de 7ª e 8ª para revisar essas propriedades.

  4. robert
    28/08/2013 às 1:25

    boa professor , parabens

  5. Jeptelson
    03/11/2012 às 1:14

    muitos facil pra mim

  6. Samuel
    22/07/2012 às 15:10

    Muito bom o exercício, não tem como não aprender parabéns.

  7. 28/01/2012 às 22:40

    Vllw pelo material professor ;D

    me ajudou cm algumas dúvidas !

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