Gráfico de uma função quadrática
O gráfico de uma função do 2º grau é dado por uma parábola com concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola intersecciona ou não, o eixo das abscissas (x), isso depende do tipo de equação do 2º grau que compõe a função. Para obtermos a condição dessa parábola em relação ao eixo x, precisamos aplicar o método de Bháskara, trocando f(x) ou y por zero. Devemos sempre lembrar que uma equação do 2º grau é dada pela expressãoax² + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números reais e a deve ser diferente de zero. Uma função do 2º grau respeita a expressão f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, onde x e y são pares ordenados pertencentes ao plano cartesiano e responsáveis pela construção da parábola.
O plano cartesiano responsável pela construção das funções é dado pela intersecção de dois eixos perpendiculares, enumerados de acordo com a reta numérica dos números reais. Todo número do eixo x possui imagem correspondente no eixo y, de acordo com a função fornecida. Observe uma representação do plano cartesiano:
Vamos demonstrar as posições de uma parábola de acordo com o número de raízes e o valor do coeficiente a, que ordena a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Condições
a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima.
a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo.
∆ > 0, a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos.
∆ = 0, a parábola intercepta o eixo das abscissas somente em um ponto.
∆ < 0, a parábola não intercepta o eixo das abscissas.
∆ > 0
∆ = 0
∆ < 0
Observe algumas funções do 2º grau e seus respectivos gráficos.
Exemplo 1
f(x) = x² – 2x – 3
Exemplo 2
f(x) = –x² + 4x – 3
Exemplo 3
f(x) = 2x² – 2x + 1
Exemplo 4
f(x) = –x² – 2x – 3
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Comentários
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Matemática IFBA 
My god, i surrender
gosto
tenho o gráfico da função quadrática, a parabola esta voltada para cima, ja quero determinar a equação do eixo de simetria, as coordenadas do vértice e a expressão analítica, como faco?
junior António.
Eu pessoalmente considero matemática como um grande obstáculo, porém quando compreendo o assunto essa mesma matemática que me assusta ; se torna fascinante.
A Matemática tem este feito, aterroriza e fascina ao mesmo tempo Espero que a segunda opção sempre prevaleça para você.
Como eu faço para descobrir o coeficiente C, quando o exercício pede. E por exemplo: o professor da uns itens, f(x)=ax2+bx+c, e ele dá o resultado de X e Y( f(1)=2; f(2)=3; f(3)=4 ), e eu queria saber isto, como faço para descobrir o C, a partir desses exemplos?
Francisco, aplicando os valores dados na função, você obtem um sistema com três equações e três variáveis. Isole uma das variáveis na primeira e substituta na segunda. Em seguida, isole outra na segunda e substitua na terceira. Então ficarás como apenas uma variável na terceira equação. Ache o valor desta e volte substituindo.
ME AJUDOU BASTANTE , GOSTEIIII……….
explicação maravilhosa
mas para resolver a funçao co0m a negativo eh precisao passá-lo para positivo e nao esta dando certo!
não existe raiz negativa no conjunto de numeros reias, só faz xv e yv
Professor, li outro dia que a parábola é uma curva das familias das “Cônicas”. A familia leva este nome porque é um conjunto de curvas que pode ser produzidas cortando um cone. No caso a parábola é produzida cortando um cone obliquamente. O primeiro texto conhecido a expor as Cônicas é de um grego antigo. Pergunto (é ignorancia mesmo, nao é retórica):1) Quem foi este grego? Além da parabola e da circunferencia (produzida com corte perfeitamente transverso) que outras curvas podem aparecer cortando um cone? E off-topic, como demonstrar que dentro de um cilindro cabem 3 cones?
gostaria de ver a expresso analitica apartir do grafico de funcao quadratica
Gostei da explicacao
o texto e bom mais falra mais exemplos e obejetividade
Como fazer qnd não ha vertice em uma função quadratica
Rodrick, como o gráfico de uma função quadrática é uma parábola com concavidade voltada para cima ou para baixo (dependendo se a>0 ou a<0), sempre haverá um vértice. O que pode acontecer é que o vértice pode estar sobre o eixo x (eixo das abscissas) e nesse caso o valor máximo ou mínimo é zero.
Caso tenha um exemplo da situação que você estar citando post ai para avaliarmos.
como se faz esse grafico
y=-x²+2x+8
É sempre bom encontrar algo feito por outras pessoas sobre o que trabalhamos
Qual a relação dos coeficientes com o gráfico da função quadrática?
O coeficiente a determina se a parábola é voltada para cima ou para baixo. O coeficiente c determina em qual ponto a função intercepta o eixo y e o b influência na localização do vértice em relação aos eixos (juntamente com os coeficientes a e c).
Exemplo sem resolução, assim fica difícil!
como responder essa questão: determinar o valor de m, onde f(x)= -3x²+2(m-1)x+(m+1) para que o valor máximo seja 2.
Maxson, utilize a fórmula
e utilizando a fórmula acima com 
você obtem 
ou 
Calculando o discriminante você obeterá:
Estou há horas tentando resolver e não consigo. Podes me ajudar? f(X)= -x^2+3x-3=0. Quais as raizes?
Sérgio, a função dada não tem raízes exatas. Mas segue
estou tentando sabe se na f(x)= 2x*-2x-12, por onde a reta passa no gráfico?
por favor me ajuda.
Qual reta Millena?
O gráfico da função f(x)=2x^2-2x-12 é uma função quadrática que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (-2,0) e (3,0) e o eixo das ordenadas no ponto (0,-12).
eu gostaria muito de aprender funcao.fiquei muito tempo sem estudar,agora que voltei,chego ate chorar por nao conceguir aprender.adimiro muito quem pega rapido.parabens p vcs.
eu entedi mais ou menos o assunto realmente e muito bom…
espero que todos aprendam. bom estudos!
gostei desse assunto ajuda muito para as provas da IV unidade . valeuuuu
muito leeeeeeeeeeeeeeegal
muito bom continua assim
muito bom.
Eu não estou entendendo muito bem sobre esses gráficos porque toda vez que eu vou fazer o gráfico não dá para formar uma parábola.Espero que esse site me ajude!Desde já agradeço a ajuda!
Juliana, seria interessante você conversar pessoalmente com seu professor ou alguém que possa te orientar nesse sentido.
COMO SABER A FUNÇÃO QUADRATICA POR MEIO DE UM GRÁFICO ? !
Onde o gráfico intercepta o eixo das ordenadas (eixo y) é o valor do termo c.
Para encontrar o valor do termo a e b então basta utilizar as raízes da função (olhe onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas-eixo x) e resolver o sistema encontrado.
Olá gente gostaria de saber que tipo de gráfico representa uma função quadrática com descriminante negativo.
Quando o discriminante é negativo, o gráfico ainda é uma parábola (com concavidade para cima se a>0 ou para baixo se a<0). Porém tal gráfico não intercepta o eixo das abscissas (eixo x), pois não possui raízes reais.
Quando é que o gráfico da Função Quadrática intercepta o eixo das abscissas? *
Caro Cah, o gráfico da função quadrática intercepta o eixo das abscissas quando a função admite raízes reais, o que ocorre quando
(a função tem duas raízes reais distintas) ou 
(a função tem uma única raiz real).
o gráfico da função intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, correspondentes as raízes. Já quando 
o gráfico intercepta o eixo das abscissas em um único ponto, correspondente a única raiz da função.
a função não admite raízes reais e, portanto, seu gráfico não intercepta o eixo das abscissas.
No caso caso em que
Quando
É possivel saber e equacao de formacao de uma funçao quadratica sabendo-se suas raizes mais as coordenadaas do vertice? Se sim, como? Se nao, sabendo-se tb onde a parabola corta eixo y , poderiamos ter a equaçao da funcao? Enxugando saberiamos a,b e c?
Sim Kalus. Suponha que tenhamos, por exemplo, que descobri a lei da função que tem como vértices
e 
e tenha raízes 
e 
. Sabemos que a soma e o produto das raízes de uma função quadrática da forma 
são dadas pelas respectivas fórmulas 
e 
. Sabemos ainda que 
.
e 
com os dados apresentados temos 
e 
. Substituindo estes resultados na fórmula de 
encontramos 
. Segue que 
e que 
.
. Você pode conferir encontrando as raízes desta função e os vértices, comprovando que dá como resultado os dados apresentados inicialmente.
Utilizando a fórmula
Assim, temos que a lei da função será
Se soubéssemos onde a função intercepta o eixo
ficaria ainda mais fácil.
Obrigadao, WS!
E como podemos alterar a lei de função quadratica de modo a fazer um deslocamento lateral (paralelo ao eixo dos x) na curva de função quadratica mantendo o mesmo formato da parabola?
Pegunta interessantíssima Klaus!
depende do termo b e do termo a. Mantendo o termo a fixo e variando o temo b vc altera o vértice da parábola em relação ao eixo x e tb em relação ao eixo y, pois 
também depende de b. Para conseguir o deslocamento pretendido vc deverá altera os termos b e c combinando-os, sugiro que vc use um softwares para visualizar isso, tipo o Wimplot(baixe aqui: http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/).
Observe Klaus que a formula de
Quando o termo c=0 você consegue um deslocamento em torno da origem só alterando o termo b.
Faça os testes e comente.
Espero ter ajudado.
Ajudou muito novamente, WS. Parece um calculo simples para quem estuda balistica, imagino. O fato que meus filhos jogam um videogame onde os projeteis tem que atingir um alvo atras de um muro. Eu lhes disse que a compreensao da funcao quadratica está por tras disso que em Fisicia de Ensino medio se chama lançamento olbiquo. Mas a coisa é mais complexa porque ha atrito com ar e ventania no simulador também!!!! De modo que os filhos riem de mim quando meus calculos nao acertam o alvo. hehehee
Muito Obrigada!isso me ajudou muito no trabalho de matemática.
Não consigo saber qual é o coeficiente linear (b) olhando só para o gráfico x_x assim,não consigo então formar a função f(x) porque fica faltando.
Camila, numa função quadrática o temo b não é chamado coeficiente linear (este nome é dado na função afim). Para encontrá-lo vc pode utilizar a fórmula para soma de raízes (
) ou a fórmula de 
(
).
como fais ografico da função do 2° grau fautano o termo c,
e como acha o grafico.
Valrelio, o termo c indica o ponto em que o gráfico intercepta o eixo OY: (0,c). Caso falte o termo c você não tem como saber exatamente em que ponto o gráfico da função quadrática intercepta o eixo OY. Pode ser que a própria questão ou problema lhe forneça informações que permitam desobri o termo c, caso contrário, vc fará o gráfico interceptando o eixo OY para valor de c qualquer (o qual ainda pode ser positivo ou negativo, o que não seria muito conveniente.
Caso você tenha algum exemplo em que pede o gráfico faltando o termo c, seria interessante postar para que eu possa te orientar melhor.
Como posso saber se o eixo de simetria irá ficar para o lado direito ou lado esquerdo do eixo das ordenadas?
Tiago Souza Ferreira
Ótima pergunta Tiago!
e que 
é que nos dá a localização do vértice em relação ao eixo x.
. Neste caso, o eixo de simetria está do lado esquerdo do eixo das ordenadas pelo fato de 
. Se 
e 
, então 
, ou seja, 
é positivo e portanto, o vértice(e consequentemente o eixo de simetria) está à direita do eixo das ordenadas.
Bem, lembremos que o vértice da parábola é um ponto dado por
Assim
Quando a parábola tem concavidade voltada para cima(a>0) e b>0, então
Já quando a parábola tem concavidade voltada para baixo(a<0) e b>0, então
. Neste caso, o eixo de simetria está do lado direito do eixo das ordenadas pelo fato de 
. Se 
e 
, então 
, ou seja, 
é negativo e portanto, o vértice(e consequentemente o eixo de simetria) está à esquerda do eixo das ordenadas.
Em resumo, se os coeficientes
e 
têm o mesmo sinal(são ambos positivos ou negativos), então 
é negativo e o eixo de simetria está à esquerda do eixo das ordenadas. Já se 
e 
têm sinais opostos(um é positivo e o outro negativo), então 
é positivo e o eixo de simetria está à direita do eixo das ordenadas
Esperto ter sanado sua dúvida, bons estudos!