Aplicações dos Logaritmos

Exemplo 1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituiçãobancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)^t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500
C (capital) = 500

i (taxa) = 0,035

t=?

M = C * (1 + i)^t
3500 = 500 * (1 + 0,035)^t

\frac{3500}{500 }= 1,035^t

1,035^t= 7

Aplicando logaritmo

\log 1,035^t=\log 7
t * \log 1,035 =\log 7 (utilize tecla \log da calculadora científica)
t * 0,0149 = 0,8451

t = \frac{0,8451}{0,0149}

t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Exemplo 2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Resolução:

População do ano-base = P_0
População após um ano =  P_0 * (1,03) = P_1
População após dois anos = P_0 * (1,03)^2= P_2

População após x anos = P_0 *(1,03^x=P_x

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

P_x = 2*P_0

P_0 * (1,03)^x = 2*P_0

1,03^x= 2

Aplicando logaritmo

\log 1,03^x = \log 2

x * \log 1,03 = \log 2

x* 0,0128 = 0,3010
x = \frac{0,3010}{0,0128}
x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

Exemplo 3 – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:
Q = Q_0* e^{-rt}, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Resolução:

Q = Q_0* e^{-rt}
200 = 1000 * e^{-0,02t}

\frac{200}{1000} = e^{-0,02 t}

\frac{1}{5} = e^{- 0,02 t}

-0,02t =\ ln \frac{1}{5}

-0,02t =\ ln 5^{-1}

-0,02 t = - \ln 5
0,02t =\ln 5

t = \frac{\ln 5}{0,02}

t = \frac{1,6094}{0,02}

t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

 

Fonte: http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/aplicacao-dos-logaritmos.htm

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