Mudança de base

Em algumas questões, pode ser apresentado um logaritmo que possui uma base não muito boa para a resolução da questão.

Nestas situações é necessário que troquemos a base do logaritmo!

A regra é a seguinte:

Mudança de Base
\log_b a=\frac{\log_c a}{\log_c b}

Ou seja, se tivermos um logaritmo na base b, podemos transformar em uma fração de logaritmos em uma outra base qualquer c.

a base nova “c”, pode ser qualquer número que
satisfaça a condição de existência da base, ou seja,c > 0 e c ≠ 1.

Por exemplo, seja o logaritmo de 45 na base 3: \log_ 3 45 . Mudando para a base 7, teremos: \frac{\log_7 45}{\log_ 7 3}. Poderíamos ter colocado qualquer outra base c no lugar do 7.


Podemos provar essa propriedade partindo da fração. Vamos igualar a fração a x e encontrar o valor de x.

\frac{\log_c a}{\log_c b}=x

\log_ c a=x*\log_c b

Vamos aplicar uma base c de potência nos dois lados da igualdade:

c^{\log_ c a}=c^{(x*\log_c b)}

Agora podemos aplicar a  conseqüência da definição no lado esquerdo e rescrever a potência do lado direito:

a=\left[c^{(\log_ c b)}\right]^x

E aplicar novamente a conseqüência, agora no lado direito:

a=[b]^x

Com a equivalência fundamental:

\log_b a=x

Que é exatamente o valor que queríamos chegar.

  1. Thalita Firmino
    18/12/2013 às 0:11

    Muito bom!! obrigada!

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