A excentricidade das cônicas

As cônicas – hipérbole, parábola, elipse e a circunferência, possuem todas elas, um aspecto singular: podem ser obtidas através da interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície cônica, conforme mostrado na figura a seguir:

Antes de prosseguir, não resisto a fazer mais uma afirmação verdadeira:
A circunferência é, na realidade, uma elipse perfeita, cuja excentricidade é nula.

Nota: Os admiradores da elipse, poderão eventualmente afirmar equivocadamente: a circunferência é uma elipse imperfeita! Eu, prefiro a primeira assertiva, pois é a correta!.

Brincadeiras à parte, prossigamos!

No caso da elipse já sabemos que:

excentricidade = e = c/a
Como é válido na elipse que a2 = b2 + c2 , vem que:


Ora, como c
< a , vem imediatamente que e < 1. Também, como a e c são distâncias e portanto, positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da elipse, a excentricidade é um número situado entre 0 e 1 ou seja:
0 < e < 1.

Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo da unidade estiver a sua excentricidade.

Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, os valores de a e de b tendem a igualar-se e a elipse, no caso extremo de c = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferência. A circunferência é então, uma elipse de excentricidade nula.

No caso da hipérbole , já sabemos que c2 = a2 + b2 e, portanto,

Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de uma hipérbole é um número real maior do que a unidade, ou seja e > 1.

Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou seja
a = b, teremos uma
hipérbole equilátera, cuja excentricidade será igual a e = Ö 2, resultado obtido fazendo a = b na fórmula acima.

Resumindo, observe que sendo e a excentricidade de uma cônica:

Cônica

e

Circunferência

0

Elipse

0 < e < 1

Hipérbole

e > 1

Quanto à parábola , podemos dizer, que a sua excentricidade será igual a 1? Em a realidade, a excentricidade da parábola é igual a 1; Vamos desenvolver este assunto a seguir:

Considere o seguinte problema geral:

Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano que satisfazem à condição PF = e . Pd, onde F é um ponto fixo do plano denominado foco e d uma reta denominada diretriz, sendo e uma constante real.

Veja a figura abaixo, para ilustrar o desenvolvimento do tema:

Nota: figura elaborada pelo meu filho Rafael C. Marques, 14.

Temos então, pela condição dada, PF = e.Pd, onde e é uma constante real.
Usando a fórmula de distancia entre dois pontos, fica:

Quadrando e desenvolvendo ambos os membros da expressão acima, vem:

(x – f)2 + y2 = e2 .(x – d)2
x2 – 2.f.x + f2 + y2 = e2 (x2 – 2.d.x + d2)
x2 – e2.x2 – 2.f.x + e2.2.d.x + y2 + f2– e2.d2 = 0
x2(1 – e2) + y2 + (2e2d – 2f)x + f2 – e2.d2 = 0

Ou finalmente:

x2(1 – e2) + y2 + 2(e2d – f)x + f2 – e2d2 = 0

Fazendo e = 1 na igualdade acima, obteremos
y2 + 2(d – f).x + f2 – d2 = 0

Fazendo d = – f, vem:
y2 – 4fx = 0 ou y2 = 4fx, que é uma
parábola da forma y2 = 2px, onde
f = p/2, conforme vimos no texto correspondente.

A constante e é denominada excentricidade.

Vê-se pois, que a excentricidade de uma parábola é igual a 1.

Fonte: http://www.paulomarques.com.br/arq6-11.htm

%d blogueiros gostam disto: