Demonstração da Fórmula para as Coordenadas do Baricentro de um Triângulo

Da geometria plana, sabemos que o baricentro ou centróide G de um triângulo é o encontro das três medianas e as divide numa razão de 2 para 1, sendo o segmento maior o que possui extremidade no vértice do triângulo.

Neste artigo, vamos demonstrar que as coordenadas do baricentro de um triângulo, representado num sistema de coordenadas retangulares, são dadas pelas fórmulas:

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Seja o triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são respectivamente: A(a , ya), B(b , yb) e C(c , yc). Seja o ponto médio referente ao lado BCrepresentado por D(xd , yd). Sejam as coordenadas do baricentro representado por G(xg , yg).

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O ponto médio de um segmento é dado pela semi-soma de suas coordenadas. Assim, as coordenadas do ponto médio do segmento BC são dadas por:

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Como o ponto G divide uma mediana numa razão de 2:1, temos a relação referente à mediana ao lado BC. (Vejam o artigo sobre A Mediana de um Triângulo no Blog Fatos Matemáticos):

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Coordenada da abscissa

Considerando as abscissas dos pontos A, G e D e a relação (2), temos que:

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Substituindo a relação (1) em (3), obtemos:

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Coordenada da ordenada

Analogamente ao que fizemos para encontrar a coordenada da abscissa do baricentro, fazemos para a ordenada:

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Substituindo a relação (1) em (4), obtemos:

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Exemplo 1: Seja o triângulo ABC cujas coordenadas são dadas por: A(0,1),B(6,–2) e C(4,3). Determinar as coordenadas do baricentro G.

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Aplicando as fórmulas, vamos determinar as coordenadas do baricentro.

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Assim, as coordenadas do baricentro do triângulo são:

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Exemplo 2: Dois vértices de um triângulo são A(0,0) e B(9,0). O centróide é dado pelo ponto (6,1). Ache o terceiro vértice do triângulo.

Resolução: Seja C(xc, yc) o terceiro vértice. Assim:

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As coordenadas do terceiro vértice são dadas por C(9, 3).

 

Fonte:  em http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/

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