Equação da Elipse

Definição

Consideremos num plano, dois pontos F1F2 distantes um do outro por 2c > 0 e seja ac.

Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano onde a soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

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[Figura 1: Elipse]

Ao conjunto dos pontos P pertencentes ao plano, tais que:

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dá-se o nome de Elipse.

Os elementos de uma elipse são:

Foco: São os pontos F1F2;

Distância focal: é a distância 2c entre os pontos;

Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2;

Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a (o segmento A1A2 contém os focos e os seus eixos extremos)

Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (o segmento B1B2 é ortogonal ao segmento A1A2 no ponto C;

Vértices: são os pontos A1A2B1B2.

excentricidade exprime o “achatamento” da elipse e é dada pela divisão:

clip_image004

Em toda a elipse, vale a relação pitagórica:

clip_image006

Vamos, agora, demonstrar a equação da elipse:

Seja P(xy) um ponto genérico de uma elipse, cujos focos são F1(– c, 0) e F2(c, 0).

Temos que:

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clip_image010

Pela equação (1) temos que:

clip_image012

Substituindo (3) e (4) na relação acima, obtemos:

clip_image014

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Elevamos ambos os lados ao quadrado:

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Dividimos ambos os lados por 4:

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Elevamos, novamente, ambos os lados ao quadrado:

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Multiplicamos por – 1:

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Dividimos ambos os lados por a2(a2 – c2):

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Da relação (2) temos:

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Substituindo (6) em (5), obtemos:

clip_image056

Que é a equação reduzida da elipse. Related Posts with Thumbnails

Créditos: Kleber Kilhian em obaricentrodamente.blogspot.com

  1. 24/06/2016 às 18:11

    Excelente demonstração!

  2. Beta
    24/06/2016 às 18:09

    Excelente demonstração!!!

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