Geometria Analítica III

Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4).

Solução:

Sendo G(x,y) um ponto qualquer da reta cuja equação é procurada, podemos escrever:

Aplicando a regra de Sarrus para desenvolver o determinante de 3ª ordem acima, vem:
– 4x – 2y – 5 + 8 + y + 5x = 0
Þ x – y + 3 = 0 que é a equação geral procurada. Observe que a equação da reta também poderá ser escrita como y = x + 3. Esta última forma, é conhecida como equação reduzida da reta, como veremos a seguir.

1 – Outras formas de equação da reta

Vimos na seção anterior a equação geral da reta ou seja ax + by + c = 0.
Vamos apresentar em seqüência , outras formas de expressar equações de retas no plano cartesiano:

1.1 – Equação reduzida da reta

Seja a reta r de equação geral ax + by + c = 0 . Para achar a equação reduzida da reta , basta tirar o valor de y ou seja :
y = (- a/b)x – c/b .
Chamando  – a/b = m   e  – c/b = n  obtemos
y = mx + n que é a equação reduzida da reta de equação geral  ax + by + c = 0 .
O valor de m é o coeficiente angular e o valor de n é o coeficiente linear da reta .
Observe que na equação reduzida da reta , fazendo x = 0 , obtemos y = n , ou seja, a reta r intercepta o eixo dos y no ponto (0 , n) de ordenada n .

Quanto ao coeficiente angular m , considere a reta r passando nos pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) .
Sendo y = mx + n a sua equação reduzida ,podemos escrever:
y1 = mx1 + n e y2 = mx2 + n .
Subtraindo estas equações membro a membro , obtemos y1 – y2 = m (x1 – x2) .
Logo , a fórmula para o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pelos dois pontos (x1 , y1) e (x2 , y2) é :

Se considerarmos que as medidas Y2 – Y1 e X2 – X1 são os catetos de um triângulo retângulo, conforme figura abaixo podemos concluir que o valor de m é numericamente igual à tangente trigonométrica do ângulo a . Podemos então escrever m = tg a , onde o ângulo a é denominado inclinação da reta . É o ângulo que a reta faz com o eixo dos x.
A  tg
a , como vimos é igual a m , e é chamada coeficiente angular da reta . Fica portanto bastante justificada a terminologia coeficiente angular para o coeficiente m.
Observe que se duas retas são paralelas , então elas possuem a mesma inclinação ; logo, concluímos que os seus coeficientes angulares são iguais.

Agora resolva este:

Analise as afirmativas abaixo:
(01) toda reta tem coeficiente angular .
(02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo .
(04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular é positivo
(08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo , a sua inclinação será um ângulo agudo .
(16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo , ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas .
(32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular .

Determine a soma dos números associados às sentenças verdadeiras.
Resposta: 02+08+32 = 42

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