Geometria Analítica IV (Equação da reta)

Equação segmentária da reta

Considere a reta representada na fig. a seguir:

Verificamos que a reta corta os eixos coordenados nos pontos (p,0) e (0,q).
Sendo G(x,y) um ponto genérico ou seja um ponto qualquer da reta, através da condição de alinhamento de 3 pontos, chegamos facilmente à equação segmentária da reta:

Nota: se p ou q for igual a zero , não existe a equação segmentária (Lembre-se: não existe divisão por zero); portanto , retas que passam na origem não possuem equação segmentária.

Exercício resolvido

Ache a equação segmentária da reta de equação geral 2x + 3y – 18 = 0.

Solução:
Podemos escrever: 2x + 3y = 18 ; dividindo ambos os membros por 18 vem:
2x/18 + 3y/18 = 18/18
\ x / 9 + y / 6 = 1. Vemos portanto que p = 9 e q = 6 e portanto a reta corta os eixos coordenados nos pontos A(9,0) e B(0,6).

Equações paramétricas da reta

Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta.

x = f(t) onde f é uma função do 1o. grau
y = g(t) onde g é uma função do 1o. grau

Nestas condições , para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra .

Exercício resolvido

Um móvel descreve uma trajetória retilínea e suas coordenadas em função do tempo t , são:
x = 3t + 11
y = -6t +10
Qual a equação segmentária dessa trajetória?

Solução:
Multiplicando ambos os membros da 1ª equação paramétrica por 2, vem: 2x = 6t + 22. Somando agora membro a membro com a 2ª equação, obtemos: 2x + y = 32 (observe que a variável t é eliminada nessa operação pois 6t + ( -6t ) = 0 ). Dividindo ambos os membros da equação obtida por 32 fica:
2x / 32 + y / 32 = 32 / 32
\ x / 16 + y / 32 = 1, que é a equação segmentária procurada.

Retas perpendiculares

Sabemos da Geometria Plana que duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam entre si um ângulo reto (90º) . Sejam as retas r: y = mr x + nr e s: y = ms x + ns . Nestas condições podemos escrever a seguinte relação entre os seus coeficientes angulares:
ms = – 1 / mr ou mr . ms = -1 .
Dizemos então que se duas retas são perpendiculares, o produto dos seus coeficientes angulares é igual a -1.

Deixaremos de demonstrar esta propriedade, não obstante a sua simplicidade, mas se você se interessar em ver a demonstração, mande-me um e-mail solicitando.

Exercício resolvido

Dadas as retas de equações (2w – 2)x + (w – 1)y + w = 0 e (w – 3)y + x – 2w = 0, podemos afirmar que:

a) elas são perpendiculares para qualquer valor de w
b) elas são perpendiculares se w = 1
c) elas são perpendiculares se w = -1
d) elas são perpendiculares se w = 0
e) essas retas não podem ser perpendiculares

Solução:
Podemos escrever para a 1ª reta: y = [-(2w-2) / (w-1)].x – w /(w-1).

Analogamente para a 2ª reta: y = [-1 / (w-3)].x + 2w / (w-3). Ora, os coeficientes de x são os coeficientes angulares e, pelo que já sabemos, a condição de perpendicularidade é que o produto desses coeficientes angulares seja igual a -1. Logo:

Efetuando os cálculos indicados e simplificando-se obtemos: w2 – 2w + 1 = 0, que é equivalente a
(w – 1)2 = 0, de onde conclui-se que w = 1.

Mas, cuidado! Observe que w = 1 anula o denominador da expressão acima e, portanto é uma raiz estranha, já que não existe divisão por zero! Apesar das aparências, a raiz w = 1 não serve! Logo, a alternativa correta é a letra E e não a letra B como ficou aparente.

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