Geometria Analítica V (reta e circunferência)

I – Ângulo formado por duas retas

Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , a tangente do ângulo agudo q formado pelas retas é dado por :

Notas:
1 – Ângulo agudo: ângulo cuja medida está entre 0 e 90º.

2 – Observe dois casos particulares da fórmula anterior, que merecem ser mencionados:

a) se as retas r e s, ao invés de serem concorrentes, fossem paralelas, o ângulo q seria nulo e portanto tg q = 0 (pois tg 0 = 0). Nestas condições, o denominador da fórmula teria que ser nulo, o que resultaria em mr = ms , ou seja, os coeficientes angulares teriam que ser iguais. Já vimos isto num texto anterior, mas é bom repetir: RETAS PARALELAS POSSUEM COEFICIENTES ANGULARES IGUAIS.

b) se as retas r e s fossem além de concorrentes, PERPENDICULARES, teríamos q = 90º . Neste caso a tangente não existe ( não existe tg 90º , sabemos da Trigonometria); mas se considerarmos uma situação limite de um ângulo tão próximo de 90º quanto se queira, sem entretanto nunca se igualar a 90º , a tangente do ângulo será um número cada vez maior, tendendo ao infinito. Ora, para que o valor de uma fração seja um número cada vez maior, tendendo ao infinito, o seu denominador deve ser um número infinitamente pequeno, tendendo a zero. Nestas condições, o denominador da fórmula anterior 1+mr . ms seria um número tão próximo de zero quanto quiséssemos e no limite teríamos 1 + mr . ms = 0.

Ora, se 1 + mr . ms = 0, podemos escrever que mr . ms = -1, que é a condição necessária e suficiente para que as retas sejam perpendiculares, conforme já vimos num texto anterior publicado nesta página. Assim, é sempre bom lembrar: RETAS PERPENDICULARES POSSUEM COEFICIENTES ANGULARES QUE MULTIPLICADOS É IGUAL A MENOS UM.

Exercício resolvido

Determine o ângulo agudo formado pelas retas r : 3x – y + 2 = 0 e s : 2x + y – 1 = 0.

Solução:
Para a reta r : y = 3x + 2. Logo, mr = 3.
Para a reta s : y = – 2x + 1. Logo, ms = -2.
Substituindo os valores na fórmula anterior e efetuando os cálculos, obtemos tg
q = 1, o que significa que o ângulo entre as retas é igual a 45º, pois tg45º = 1.
(Faça os cálculos para conferir).

II – Estudo simplificado da circunferência

Considere a circunferência representada no plano cartesiano , conforme abaixo , cujo centro é o ponto C(xo , yo) e cujo raio é igual a R , sendo P(x , y) um ponto qualquer pertencente à circunferência .

Podemos escrever: PC = R e pela fórmula de distancia entre dois pontos, já vista em outro texto publicado nesta página, teremos: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 , que é conhecida como equação reduzida da circunferência de centro C(x0,y0) e raio R. Assim, por exemplo, a equação reduzida da circunferência de raio 5 e centro no ponto C(2,4) é dada por: (x – 2)2 + (y – 4)2 = 25.

Caso particular: Se o centro da circunferência coincidir com a origem do sistema de coordenadas cartesianas ou seja o ponto O(0,0) , a equação reduzida da circunferência fica:
x2 + y2 = R2

Para obter a Equação Geral da circunferência, basta desenvolver a equação reduzida .
Temos:
x2 – 2x . xo + xo2 + y2 – 2y . yo + yo2 – R2 = 0 .

Fazendo -2xo = D , -2yo = E e xo2 + yo2 – R2 = F , podemos escrever a equação
x2 + y2 + D x + E y + F = 0 (Equação geral da circunferência).

Então , concluímos que quando os coeficientes de x2 e y2 forem unitários , para determinar as coordenadas do centro da circunferência , basta achar a metade dos coeficientes de x e de y , com os sinais trocados ou seja : x0 = – D / 2 e y0 = – E / 2 .

Se os coeficientes de x2 e de y2 não forem unitários , temos que dividir a equação pelo coeficiente de x2 que é sempre igual ao coeficiente de y2 , no caso da circunferência.

Para o cálculo do raio R , observemos que F = xo2 + yo2 – R2 .
Mas, xo = – D / 2 e yo = – E /2 . Logo , podemos escrever a seguinte equação para o cálculo do raio R a partir da equação geral da circunferência:

Cuidado! Para que a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 , possa representar uma circunferência, tem de ser atendida a condição 
D2 + E2 – 4.F
> 0 ,  pois não existe raiz quadrada real de número negativo .

Observe que se D2 + E2 – 4.F = 0 , a equação x2 + y2 + D x + E y + F = 0 representa apenas um ponto do plano cartesiano! Por exemplo : x2 + y2 + 6x – 8y + 25 = 0 é a equação de um ponto! Verifique.

Qual a sua interpretação para o caso D2 + E2 – 4F ser negativo? Ora, como não existe raiz quadrada real de número negativo, conclui-se facilmente que a circunferência não existe neste caso!

Exemplo:
Dada a equação x2 + y2 – 6x + 8y = 0, temos: D = – 6 , E = 8 e F = 0.
Logo, pelas igualdades anteriores, podemos determinar as coordenadas do centro e o raio como segue:

xo = – (-6) / 2 = 3 ; yo = – 8 / 2 = -4 e R = 5 (faça as contas).
Portanto, o centro é o ponto C(3, -4) e o raio é igual a 5 u.c (u.c = unidade de comprimento).

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