Problemas de circunferência resolvidos

1 – A equação da circunferência que passa pelos pontos A(2;3), B(-2;0) e C(0;-7) é:

a) 17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0
b) 17x2 + 17y2 + 99x – 81y – 266 = 0
c) 17x2 + 17y2 – 99x + 81y + 266 = 0
d) 17x2 – 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0
e) 17x2 + 17y2 – 99x – 81y + 266 = 0

Solução:

Já sabemos da Geometria Analítica que a equação geral simplificada de uma circunferência é da forma:
x2 + y2 + D x + E y + F = 0 onde P(x;y) é um ponto qualquer pertencente à circunferência.

Substituindo os pontos dados na equação geral, fica:
Para o ponto A(2;3), temos x = 2 e y = 3. Então:
22 + 32 + 2D + 3E + F = 0 \ 2D + 3E + F = -13

Para o ponto B(-2;0), temos x = -2 e y = 0. Substituindo, vem:

(-2)2 + 02 –2D + 0.E + F = 0 \ -2D + F = – 4

Para o ponto C(0;-7), temos x = 0 e y = -7. Substituindo, fica:
02 + (-7)2 + 0.D – 7E + F = 0 \-7E + F = – 49
Temos então o seguinte sistema de equações lineares:

2D + 3E + F = -13
-2D + F = – 4
-7E + F = – 49

Para resolver o sistema de equações lineares acima, vamos utilizar a Regra de Cramer.
Nota: Gabriel CRAMER – 1704 – 1752 – matemático suíço.

Observe que o sistema acima pode ser escrito como:

2D + 3E + F = -13
-2D + 0E +F = – 4
0D -7E + F = – 49

Teremos então pela Regra de Cramer:

Analogamente,

E, finalmente,

Nota: os determinantes foram calculados, usando a Regra de Sarrus.
Nota: Pierre Frederic SARRUS (pronuncia-se sarri) – 1798 – 1861 – matemático francês.

Portanto, como D = -99/17, E = 81/17 e F = -266/17, substituindo os valores encontrados para D, E e F, vem:

x2 + y2 + (-99/17)x + (81/17)y + (-266/17) = 0, que é equivalente a:
x2 + y2 – (99/17)x + (81/17)y – (266/17) = 0 , que é a equação da circunferência procurada.

Se quisermos, poderemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membros por 17, resultando:

17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0 , que é equivalente à anterior e outra forma de apresentar a equação da circunferência procurada, o que nos leva à alternativa A.

2 – Verifique se o ponto P(-5;0) fica dentro ou fora da circunferência do problema anterior.

Solução:

Observe que um ponto qualquer do plano em relação à uma circunferência pode ocupar três posições possíveis: ou o ponto é interior à circunferência, ou é exterior ou pertence à circunferência. Se você substituir as coordenadas (x;y) do ponto no primeiro membro da equação da circunferência
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 e encontrar zero, isto significa que o ponto pertence à circunferência, o que é óbvio.
Se você obtiver um valor positivo, o ponto é obviamente exterior e se o valor obtido for negativo, o ponto é obviamente interior. Isto parece-me por demais óbvio e, portanto, omitirei a justificativa.

Substituindo o ponto P(-5;0) onde x = -5 e y = 0 no primeiro membro da equação da circunferência
17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0, teremos:

17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 17.(-5)2 + 17.02 – 99.(-5) + 81.0 – 266 = +654 > 0.
Portanto, o ponto P(-5,0) fica fora da circunferência 17x2 + 17y2 – 99x + 81y – 266 = 0.

Agora resolva estes:

1 – A equação da circunferência que passa pelos pontos A(0;7), B(-7;0) e C(0;-7) é:

a) x2 + y2 – 49 = 0
b) x2 + y2 + 49 = 0
c) x2 – y2 – 49 = 0
d) x2 + y2 – 99 = 0
e) x2 + y2 + 99 = 0

2 – Verifique se o ponto Q(3; -4) fica dentro ou fora da circunferência de equação
x2 + y2 – 7x + 8y – 20 = 0.

Resposta: dentro.

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