Sistema de coordenadas polares

Já conhecemos o sistema de coordenadas cartesianas, noção introduzida por René Descartes – filósofo e matemático francês, 1596 – 1650, criador dos fundamentos da Geometria Analítica.

Vamos agora, conhecer o sistema de coordenadas polares, as quais vinculam-se com as coordenadas cartesianas, através de relações trigonométricas convenientes.

Seja O um ponto do plano e considere uma semi-reta de origem O. Denominemos o ponto O de pólo e a semi-reta, de eixo polar.

Um ponto qualquer P neste sistema, poderá ser univocamente determinado, através da distância do ponto P ao ponto O , e do ângulo q formado entre o segmento de reta OP e o eixo polar.

Adotando-se por convenção, o sentido trigonométrico para o ângulo q , ou seja, o sentido anti-horário, no qual os ângulos são considerados positivos, podemos construir a figura abaixo:

Observe que o ponto P de coordenadas cartesianas P(x,y), pode ser também ser expresso pelas suas coordenadas polares correspondentes P(r,q), onde, pela figura acima, pode-se escrever:
x = r.cosq
y = r.senq

A distancia OP = r é denominada raio vetor e o ângulo q é denominado ângulo polar.
Quadrando as duas expressões acima e somando membro a membro, vem:
x2 + y2 = r2.cos2q + r2.sen2q = r2(cos2q + sen2q) = r2
Observe que cos2q + sen2q = 1, a relação fundamental da Trigonometria.
Analogamente, temos que tgq = y/x , no triângulo retângulo da figura acima.
Em resumo, teremos:
x2 + y2 = r2 , com r ³ 0, já que OP = r é uma distância e portanto, um valor positivo ou nulo, e, tgq = y/x

Exemplos:

a) considere o ponto P(1,1). As suas coordenadas polares serão P(Ö2,p/4), pois:
r2= 12 + 12 = 2  \ r = Ö2
tg q = y/x = 1/1 = 1 \ q = p/4 radianos.

  1. b) considere o ponto P(1,0). As suas coordenadas polares serão P(1,0), pois:
    r2 = 12 + 02 = 1 \ r = 1
    tg q = y/x = 0/1 = 0 \ q = 0 radianos.
  2. c) considere o ponto P(0,1). As suas coordenadas polares serão P(1, p/2), pois:
    r2 = 02 + 12 = 1 \ r = 1
    tg q = y/x = 1/0. Sabemos que não existe a divisão por zero , mas podemos verificar neste caso que o ponto P(0,1) situa-se no eixo dos y e, portanto, q = 90º = p/2 radianos.

Vamos agora, desenhar alguns gráficos de curvas expressas através das suas coordenadas polares.

1 – Esboçar o gráfico da curva  r = 2q.
Inicialmente, vamos construir uma tabela, onde vamos atribuir valores a q (em radianos) e calcular o valor correspondente de r.

q (em graus) 0 30º 45º 60º 90º 135º 180º 270º 360º
q (em radianos) 0 p/6 p/4 p/3 p/2 3p/4 p 3p/2 2p
r = 2q 0 p/3 p/2 2p/3 p 3p/2 2p 3p 4p
r = 2q (aprox.) 0 1,05 1,57 2,10 3,14 4,71 6,28 9,42 12,56

Plotando (locando ou marcando) os pontos obtidos acima, obteremos a curva a seguir, denominada Espiral de Arquimedes.
De uma forma geral, a equação polar da forma r = a.q onde a é uma constante, representa uma curva denominada Espiral de Arquimedes.

2 – Esboçar a curva r = 2(1 + cosq).
Analogamente, obteremos a curva abaixo, denominada cardióide.

De uma forma geral, as equações da forma r = 2a(1 + cosq) onde a é uma constante, são curvas denominadas Cardióide.

3 – Esboçar a curva r = 2/q.
Analogamente, obteríamos a curva abaixo, denominada Espiral Hiperbólica.

De uma forma geral, as equações da forma r = a/q onde a é uma constante, são curvas denominadas Espirais hiperbólicas.

4 – Esboçar a curva r2 = 4.cos(2q).
Analogamente, obteremos a curva abaixo, denominada Lemniscata de Bernoulli.
De uma forma geral, as equações da forma r2 = a2.cos(2q), onde a é uma constante, representam curvas denominadas Lemniscata de Bernoulli.


5 – Esboce a curva r = 4.
Verifique você mesmo, que teremos neste caso, uma circunferência de raio 4.
Nota: as figuras acima foram executadas pelo meu filho Rafael Marques,14.

%d blogueiros gostam disto: