Demonstração da Fórmula do Volume de Pirâmide

Para entender a demonstração é necessário conhecer um pouco de cálculo integral. Portanto, alunos do ensino médio poderão ter dificuldades para entender, tendo em vista que não trabalham tal conteúdo.

Parte 1: Demonstração Fórmula Volume Pirâmide de Base Circular

Vamos considerar primeiramente um caso particular de pirâmide: o cone.

Considere a área sombreada sob a curva f ( x ) = ax:

triangulo ret

Podemos notar que a figura formada é um triângulo retângulo com um dos vértices na origem. Se rotacionarmos este triângulo 360º em torno do eixo x, observamos que a figurar formada é um cone com vértice na origem:

fx ax cone

Para encontrarmos o volume deste cone, vamos supor fatias paralelas ao eixo y com larguras infinitesimais dx e raio y:

cilindro infinitesimal dx 2

O Volume de um Cilindro é dado por:

clip_image002

clip_image004

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a y e sua altura é igual a dx, podemos reescrever a fórmula de seu volume como:

clip_image002[4]

Podemos dizer que o cone é formado por infinitos  cilindros de alturas infinitesimaisdx, onde o raio y é variável para cada cilindro. A soma destes cilindros será dada pela integral definida:

clip_image002[6]

clip_image004[4]

Que equivale a dizer:

clip_image002[8]

onde f ( x ) é a curva f ( x ) = axx0x1 são os limites da área sob a curva (o vértice e o centro da base do cone gerado, respectivamente).

Temos então que o volume do cone é dado por:

clip_image002[10]

mas f ( x ) = ax, portanto:

clip_image002[12]

clip_image002[14]

Integrando em relação a x, temos:

clip_image002[18]

clip_image002[20]

mas como x0 = 0 (origem), temos:

clip_image002[22]

Em contrapartida temos que:

clip_image002[24]

clip_image004[6]

clip_image006

Substituindo ( II ) em ( I ), obtemos:

clip_image002[26]

clip_image004[8]

clip_image006[4]

Mas y1 é o raio da base no cone e x1 é sua altura. Então podemos reescrever o volume como:

clip_image002[28]

Se a área da base do cone é:

clip_image002[30]

Temos que:

clip_image002[32]

Que é a famosa fórmula para cálculo de volume de uma pirâmide qualquer.

Exemplo 1: Dado o cone abaixo, calcular seu volume.

cone ex11

Primeiramente, vamos remanejar o cone acima para melhor entendimento:

cone ex22

clip_image002[4]

clip_image004[5]

clip_image006[3]

clip_image008

clip_image010

clip_image012

clip_image014

clip_image016

Se utilizarmos a fórmula pronta para cálculo de volume de pirâmide, temos:

clip_image002[6]

clip_image004[7]

clip_image006[5]

Que é o mesmo valor encontrado utilizando o conceito de integral definida.

Parte 2: Demonstração Fórmula Volume Pirâmide de Base Qualquer

Consideremos a pirâmide de base quadrada abaixo:

piramide ret 1

Para encontrarmos o volume desta pirâmide, vamos supor fatias paralelas ao eixo ycom alturas infinitesimais dx:

quadrado infinitesimal 1

O volume deste prisma de altura infinitesimal é dado por:

clip_image002[8]

clip_image004[9]

Mas l/2 é igual a y, então:

clip_image002[10]

clip_image004[11]

Podemos dizer que o volume da pirâmide é constituído por infinitos prismas de alturas infinitesimais dx, onde os lados l são variáveis para cada prisma.

A soma destes prismas de alturas infinitesimais é dado pela integral definida:

clip_image002[12]

clip_image004[13]

clip_image006[7]

clip_image008[4]

Integrando em relação a x, temos:

clip_image002[14]

clip_image004[15]

Mas como x0, então:

clip_image002[18]

Temos que f(x) = ax:

clip_image002[20]

Substituindo (II) em (I), temos:

clip_image002[22]

clip_image004[17]

clip_image006[9]

Mas y1 é a metade da aresta lateral da base da pirâmide e x1é sua altura h:

clip_image002[24]

clip_image004[19]

clip_image006[11]

Como a área de base é l2, então:

clip_image002[26]

Que é a famosa fórmula para cálculo de volume de uma pirâmide qualquer.

Vimos que numa pirâmide de base circular e quadrada, encontramos a mesma fórmula para o volume. Se quisermos aplicar o mesmo conceito para uma pirâmide de base pentagonal, hexagonal ou n-gonal, veremos que todas recaem à mesma fórmula para o volume.

Créditos: Kleber Kilhian, Garulhos, SP.

Veja Também: Demonstração Fórmula Volume Tronco de Cone

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