P.A.

Progressão Aritmética (PA) é toda seqüência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante, essa diferença constante é chamada de razão da progressão. Ou ainda onde cada termo (a partir do segundo) é obtido somando-se uma constante (chamada razão) ao termo anterior.

  • Representação matemática:

(a1, a2, a3, a4, a5, … an-1, an, an+1, …)
r = a2 – a3
r = a3 – a2
r = an – an-1
r = an+1 – an

  • Classificação:
    Uma PA pode ser:

a.      crescente: (r > 0) – (2, 4, 6, 8, 10, …)_ r = 2

b.      decrescente: (r < 0) – (7, 5, 3, 1, -1, -3, …)_ r = -2

c.      constante: (r = 0) – (9, 9, 9, 9, …)

Fórmula do termo geral de uma PA:
(a1, a2, a3, ….., an-1, an)

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

…..

an = a1 + (n-1)r

an = termo geral n = n-ésimo termo

a1 = primeiro termo

r = razão

Expressões Gerais:

1)      Três números em PA

x – r, x, x + r

2)      Cinco números em PA
x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r

3)      Quatro números em PA
x – 3r, x – r, x + r, x + 3r

  • Interpolação Aritmética:

Interpolar significa inserir, intercalar meios aritméticos entre 2 números, formando assim uma P.A. .
X , __ , __ , __ , Y
– Se interpolarmos n meios entre 2 números, iremos obter uma P.A. de n + 2 termos;

  • Propriedades da P.A.:

1.       Numa P.A. ao considerarmos 3 termos consecutivos, o termo médio é a média aritmética dos outros 2; an = an-1 + an-1 /  2

2.       Numa P.A. finita, a soma dos extremos é igual a soma dos termos eqüidistantes dos extremos;
a1 + an = a2 + an-1 = a3 + an-2 = …

Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

a_n=a_1 + (n-1).r\,\!

Demonstração:

  • O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

a_2=a_1+r\,\!

  • O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

a_3=a_2+r   \,\!

a_2=a_1+r\,\!, portanto: a_3=(a_1+r)+r\,\!

a_3=a_1+2r\,\!

  • O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

a_4=a_3+r\,\!

a_3=a_1+2r\,\!, portanto: a_4=(a_1+2r)+r\,\!

a_4=a_1+3r\,\!

  • Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

a_n=a_1+(n-1).r\,\!

Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:

a_n = a_m + (n-m).r\,\!

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Pelo esquema acima, temos que a soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

S_n=\frac{n.(a_1+a_n)}{2},\!

A soma dos termos entre a_p\,\!a_q\,\! é:

S_{(p,q)}=\frac{(q-p+1).(a_p+a_q)}2\,\!

Demonstração:

Considere as somas:

Sn = a1 + a2 + …… + an-1+ an

Sn = an + an-1 + ………..a2 + a1

Soma as duas:

2Sn = (a1 + an) + (a2+an-1) + …..+ (an+a1)

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA.

a2 + an-1 = (a1 + r) + (an – r) = a1 + an
a3 + an-2 = (a1 + 2r) + (an – 2r) = a1 + an

e assim por diante.

Então, como há n pares de termos, de 1 até n:

2Sn = (a1 + an) n

Sn = (a1 + an) n / 2

OBS.: Esta demonstração também pode ser feita pelo processo de Indução Finita. Aconselho aos alunos que dominam esta técnica.

 

  1. gideao correia
    01/06/2014 às 12:47

    Otimo o material apresentado e de fácil compreensão

  2. sandra
    16/05/2014 às 12:56

    muito bom o material, bom seria se tivesse como faze dowwnloads…..

  3. TorcidaJovem
    20/11/2012 às 18:10

    o material esta bom,mas devia ter alguns execícios resolvidos pra gente ver . mas ta bem explicado vlw vlw.

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