Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita

Progressão Geométrica (PG) é uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:

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onde aq são números reais dados.

Assim, podemos dizer que PG é uma sequência tal que o quociente entre cada termos e o seu anterior, a partir do segundo, é uma constante denominada q.

Podemos dizer também que uma PG é toda sequência na qual cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante não-nula, denominada razão e simbolizada por q.

Para demonstrarmos a fórmula da soma dos termos de uma PG finita, considere a PG finita de n termos:

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Seja Sn a soma dos n termos desta PG:

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ou escrevendo-a de outra maneira:

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Sabemos que se multiplicarmos ambos membros de uma igualdade por uma constante, esta igualdade continuará válida. Vamos multiplicar a igualdade (3) por uma constante de valor conveniente q:

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Observando as relações (3) e (4), notamos que a parcela a1 só aparece em (3) e a parcela a1qn só aparece em (4). As demais parcelas são comuns entre as duas relações. Para que estas parcelas sejam eliminadas, subtraímos (3) de (4):

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Podemos demonstrar (5) aplicando o princípio da indução finita:

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Que é a fórmula para a soma dos n termos de uma PG finita em função de a1anq.

Podemos ainda transformar (6) para que esta esteja em função de a1nq:

Sabemos que:

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Exemplo 1: Determine a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 22, 23, …)

Temos então que:

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Aplicamos a fórmula dada em (8):

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Exemplo 2: Determine a soma dos termos da PG (1, 1/2, 1/4, …, 1/64)

Temos que:

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Aqui, podemos utilizar a fórmula dada em (6), pois teoricamente não sabemos a quantidade de termos desta PG:

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Créditos: Kleber Khilhian em http://obaricentrodamente.blogspot.com/

Veja também:
Fórmula da Soma dos Termos de uma PG Infinita
  1. 22/04/2014 às 13:13

    Por sua causa verei um vinte (20V) certo obrigado por tudo amigo.

  2. Bruno Andre Love
    13/08/2013 às 15:07

    Valeu pela ajuda, estava mesmo a preçisar ,,, voltarei em breve para mais dicas foiiii

  3. 15/08/2012 às 21:42

    muito bom!! me ajudou bastante. agora já seu tudo!! obrigado…

  4. mario
    26/05/2012 às 21:24

    excelente! resolveu minha dúvida. agora posso usar para calculo na matematica financeira

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