Fórmula da Soma dos Termos de uma PG Infinita

Na demonstração abaixo será usado o conceito de limite. Sendo assim, tal demonstração é aconselhável para alunos do ensino superior que já viram tal conceito.

Você pode ver aqui que a fórmula para determinar a soma dos termos termos de uma P. G. finita é dada por

clip_image002

Se tivermos uma PG infinita na forma:

clip_image004

podemos demonstrar a fórmula da soma dos termos desta PG a partir de (1):

clip_image006

Notem que a1q são constantes, de modo que a1q – 1 também é uma constante. No entanto, qn é variável, devido à n. Logo, temos que:

clip_image008

Se temos uma PG de infinitos termos n, podemos aplicar (4) em (3), obtendo:

clip_image010

A condição – 1 < q < 1 é necessária para a convergência da sequência, mas se a1 = 0 esta condição se torna desnecessária.

Mas, se a1 ≠ 0 e q < -1 ou q >1, a sequência (S1, S2, S3, …) não converge e se torna impossível calcular a soma dos termos desta PG.


Exemplo 1: Calcule a soma dos termos da PG:

clip_image012

Temos que:

clip_image014

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clip_image018


Exemplo 2: Calcule a soma dos termos da PG:

clip_image020

Temos que:

clip_image022

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S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{2}{3}}=\frac{4}{\frac{1}{3}}=12

Também podemos encontrar frações geratrizes de dízimas periódicas através da PG. Veja um estudo sobre esse tema acessando o link abaixo:

Créditos: Kleber Khilhian em http://obaricentrodamente.blogspot.com/

Veja também:
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita
  1. 02/05/2012 às 12:38

    Cade a dedução de como chega a essa formula??

    • 05/05/2012 às 22:28

      A dedução está logo acima, nos passos numerados (1)-(5), a partir da fórmula da soma dos termos de uma P. G. finita(cuja demostração está na página correspondentemente acima)

  2. Eliana
    22/04/2012 às 20:01

    O exemplo 2 está incorreto pois 1-2/3 = 1/3 e não 1/2

    • 22/04/2012 às 22:32

      A correção já foi feita Eliana, obrigado pelo aviso.

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