Cálculo de raízes quadradas aproximadas

A raiz quadrada aproximada de um número é calculada utilizando a estimativa, que é o processo pelo qual conseguimos aproximar valores numéricos. Adotamos esse procedimento para calcular raiz quadrada não exata, que ocorre quando o radicando não é um número quadrado perfeito. Lembre-se que:

  • Radicando é o número que fica dentro do radical, ou seja:

2 = Índice     2 = Expoente     n = Radicando     n = Raiz

  • Número quadro perfeito é obtido pelo produto de um número por ele mesmo. Sendo assim, é todo e qualquer número que tem como expoente o número 2.

    Número           Número quadrado perfeito

    0           →           02 = 0

    1           →           12 = 1

    2           →           22 = 4

    3           →           32 = 9

    4           →           42 = 16

    5           →           52 = 25…

  • A raiz exata de um número é dada por um outro número que é quadrado perfeito.

Temos que 4, 9 e 16 são números quadrados perfeitos.

  • Para sabermos quando utilizar o processo de estimativa pra calcular raiz quadrada, basta o valor numérico referente ao radicando não ser um número quadrado perfeito. Veja alguns radicais que não são quadrados perfeitos:

    Radicais que não são números quadrados perfeitos

Como já trabalhamos os conceitos iniciais necessários para poder compreender melhor o que é raiz quadrada aproximada, podemos agora determinar o processo pelo qual é realizada a estimativa.

A aproximação para raiz quadrada adota o conjunto dos números racionais. Sendo assim, o valor numérico da raiz sempre será um número com uma ou mais casas decimais.

A seguir veremos alguns métodos para o Cálculo de raízes aproximadas.

Aproximação através de potências sucessivas

Iremos ver o método usual  para cálculo de raízes quadradas aproximadas que consiste em estimativa através de do cálculo de potências sucessivas. Vamos calcular, por exemplo, a raiz aproximada do número 7.

Primeiro passo

Devemos definir o número quadrado perfeito que é antecessor e sucessor do número 7.

22 < 7 < 32

4 < 7 < 9

Segundo passo

Determinar o possível intervalo que será raiz de 7 e fazer a estimativa variando as casas decimais.

Conseguimos determinar que o número 7 está entre os números quadrados perfeitos 4 e 9. Então o número que será a raiz de 7 está entre 2 e 3. Agora devemos aplicar o processo da estimativa, para isso variamos os números refentes à casa decimal.

(2,1) . (2,1) = (2,1)2 = 4,41

(2,2) . (2,2) = (2,2)2 = 4,84

(2,3) . (2,3) = (2,3)2 = 5,29

(2,4) . (2,4) = (2,4)2 = 5,79

(2,5) . (2,5) = (2,5)2 = 6,25

(2,6) . (2,6) = (2,6)2 = 6,76

(2,7) . (2,7) = (2,7)2 = 7,29

Terceiro passo

Definir qual dos valores da estimativa é raiz

Quando o produto de um número por ele mesmo ultrapassa o valor do radicando que queremos encontrar, paramos de estimar esse número. O que precisamos fazer agora, no caso da raiz quadrada de 7, é decidir se a raiz é o número 2,6 ou 2,7. Por convenção, temos que a raiz de 7 é dada pelo menor valor. Sendo assim:

\sqrt{7}\approx 2,6

Se quisermos uma aproximação podemos pensar em trabalhar com duas casas decimais para a raiz aproximada de 7. Como vimos que (2,6)2 = 6,76 e (2,7)2 = 7,29, variamos agora os números referente a segunda casa decimal a partir de 2,6:

(2,61) . (2,61) = (2,61)2 = 6,8121

(2,62) . (2,62) = (2,62)2 = 6,8644

(2,63) . (2,63) = (2,63)2 = 6,9169

(2,64) . (2,64) = (2,64)2 = 6,9696

(2,65) . (2,65) = (2,65)2 = 7, 0225

Portanto, a raiz do número 7 com duas casas decimais é aproximadamente 2,64 e podemos escrever:

\sqrt{7}\approx 2,64

 Método Babilônico

Um algoritmo frequentemente usado para aproximar \scriptstyle \sqrt{n} é conhecido como “método babilônico” (porque, especula-se, este era o método usado na Matemática Babilônica para calcular a raiz quadrada. Para se encontrar a raiz quadrada de um número real n, processa-se como a seguir:

  1. Inicie com um número positivo arbitrário r (preferencialmente próximo da raiz);
  2. Substitua r pela média de r e \scriptstyle \frac{n}{r};
  3. Repita o segundo passo para obter uma aproximação melhor.

Este algoritmo é quadraticamente convergente, que significa que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição. Ele, entretanto, não dá a raiz exata, mas dá uma ótima aproximação. Ou seja não é um método perfeito, apresenta uma margem de erro (muito pequena, desprezível para cálculos que não necessitam de muita precisão. De fato, dependendo da aproximação todas as casas decimais estarão corretas). Abaixo, um exemplo do método para melhor compreensão:

Digamos que se queira extrair a raiz quadrada de 66.

  1. Ache o menor quadrado perfeito que mais se aproxima do número dado. Nesse caso o quadrado que mais se aproxima é 64. Nota: Usa-se sempre o quadrado menor que o número procurado, mesmo que o quadrado maior seja mais próximo.
  2. Extraia a raiz quadrada do quadrado que mais se aproximou. A raiz quadrada de 64 é 8. Nesse exemplo chamaremos 8 como A (A = 8).
  3. Divida o número original por A, ou seja, 66 / 8 = 8,2. Nesse exemplo chamaremos 8,2 como B (B = 8,2).
  4. Somamos A com B e dividimos por 2.
    8 + 8,2 = 16,2
    16,2 / 2 = 8,1
    O resultado chamaremos de C (C = 8,1).
  5. Agora dividimos o número original (nesse caso 66) por C.
    66 / 8,1 = 8,148
    O resultado chamaremos de D (D = 8,148).
  6. Novamente, usando do mesmo procedimento, somaremos C e D e dividimos por 2.
    8.1 + 8.148 = 16.248
    16.248 / 2 = 8,124
    Esse número chamaremos de E (E = 8,124).

Esse seria aproximadamente a raiz quadrada de 66. Poderíamos dividir o 66 por E e continuar esse mesmo processo, só que isso acabaria por dar algumas imprecisões. Então podemos dizer que a raiz quadrada de 66 é aproximadamente 8,124. Ao testarmos numa calculadora teremos: 8,12403840463596… Ou seja, esse é um bom método para se achar aproximadamente uma raiz quadrada.

Aplicando para calcular a raiz quadrada de 7, que utilizamos como exemplo no método anterior, temos:

  1. O menor quadrado perfeito que mais se aproxima do número 7 é 4.
  2. A raiz quadrada de 4 é 2. Então seja A=2.
  3. Dividindo 7 por A, temos 7/2=3,5. Chamaremos então 3,5 de B (B=3,5)
  4. Calculando a média entre A e B, temos: \frac{A+B}{2}=\frac{2+3,5}{2}=2,75, a qual chamaremos de C (C=2,75).
  5. Dividindo o valor original 7 por C: 7/2,75=2,54. Seja D=2,54
  6. Calculando a média entre C e D, temos: \frac{C+D}{2}=\frac{2,54+2,75}{2}=2,64.
  7. Esse valor é a mesma aproximação que encontramos aplicando o primeiro método. Porém se quisermos continuar para obter uma aproximação melhor, podemos chamar esse valor de E, ou seja, E=2,64 e dividir o valor original 7 por ele: 7/2,64=2,65. A esse valor chamaremos de F, ou seja, F=2,65.
  8. Calculando a média, temos $latex \frac{E+F}{2}=\frac{2,64+2,65}{2}=2,645$, que é uma aproximação com três cadas decimais para a raiz de 7.

Em geral podemos utilizar o algoritmo:

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Onde, para cada iteração (ak , bk), para todo k = 1, 2, 3, …, encontramos uma raiz n mais aproximada.

O erro da aproximação é dado por E = |(bk)2n|. Se o valor absoluto da diferença entre (bk)2 e n for menor do que a precisão ε, então tome como raiz aproximada.

Exemplo: Aproximar √3 pelo algoritmo babilônico com precisão de $latex \epsilon= 1*10^{-4}$. Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, vamos tomar como aproximação inicial a0 = 1,5.

Calculamos:

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Testamos o erro da aproximação inicial b0. Como E = |22 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 1

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Como E = |1,7142857142 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 2

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Como E = |1,7319587622 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 3

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clip_image042[1]

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Como E = |1,73205080512 – 3| < 10– 4, paramos as iterações e tomamos bcomo uma raiz aproximada √3, com precisão até a décima casa decimal! Vale lembrar que, se continuarmos as iterações k, termos uma aproximação cada vez melhor da raiz.

Equção de Pell e Aritmética Mental

Equação de Pell

A equação de Pell permite encontrar a parte inteira de uma raiz quadrada simplesmente subtraindo inteiros ímpares. Por exemplo, para calcular a parte inteira da raiz quadrada de 19, calcula-se a sequência:

   1. 19 – 1 = 18
   2. 18 – 3 = 15
   3. 15 – 5 = 10
   4. 10 – 7 = 3

Como 3 é menor que 9, a sequência para aqui. Como 4 subtrações foram efetuadas, então a resposta é 4

Ou seja, para calcular a parte inteira da raiz quadrada n de um número inteiro positivo m, pode ser usado o seguinte trecho de programa:

   n = 0
   i = 1
   while (m >= i){
      m = m – i;
      i = i + 2;
      n = n + 1;
   }

Observe-se que se n é a raiz exata, o valor final de m é zero.

Encontrando raízes quadradas usando aritmética mental

Baseado na Equação de Pell’s este é um método para obter a raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares.

Ex: Para obter \scriptstyle \sqrt{27} nós começamos com a seguinte sequência:

  1. \scriptstyle 27-1 = 26
  2. \scriptstyle 26-3 = 23
  3. \scriptstyle 23-5 = 18
  4. \scriptstyle 18-7 = 11
  5. \scriptstyle 11-9 = 2

5 passos foram tomados e isso nos leva que a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5.

Efetua-se: resultado do último passo * 100 e número de passos da sequência anterior * 20 + 1

\scriptstyle 2\times 100 = 200 e \scriptstyle 5\times 20 + 1 = 101

  1. \scriptstyle 200-101 = 99

O próximo número é 1.

Em seguida efetua-se: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1

\scriptstyle 99\times 100 = 9900 e \scriptstyle 51\times 20 + 1 = 1021

  1. \scriptstyle 9900-1021 = 8879
  2. \scriptstyle 8879-1023 = 7856
  3. \scriptstyle 7856-1025 = 6831
  4. \scriptstyle 6831-1027 = 5804
  5. \scriptstyle 5804-1029 = 4775
  6. \scriptstyle 4775-1031 = 3744
  7. \scriptstyle 3744-1033 = 2711
  8. \scriptstyle 2711-1035 = 1676
  9. \scriptstyle 1676-1037 = 639

O próximo número é 9.

O resultado nos dá 5,19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27.

Aplicando este método ao exemplo do cálculo da raiz aproximada de 7, temos:

Parte I:

  1. 7-1=6
  2. 6-3=3

Como o resultado 3 é menor do que o próximo número impar 5, então a parte inteira da raiz de 7 é 2.

Passo II: Efetua-se: resultado do último passo * 100 e número de passos da sequência anterior * 20 + 1

Como o resultado do último passo foi 3, então temos 3*100=300. Tivemos dois passos, assim: 2*20+1=41

Então temos,

  1. 300-41=259
  2. 259-43=216
  3. 216-45=171
  4. 171-47=124
  5. 124-49=75
  6. 75-51=24

Como 24 é menor do que o próximo número impar da sequência então o primeiro número da casa decimal da raiz aproximada de 7 é o número de passos, ou seja, número 6. Assim já temos uma primeira aproximação para a raiz quadrada de 7 que é 2,6, ou seja, \sqrt{7}\approx 2,6.

Buscando uma aproximação melhor, continuaremos aplicando o método:

Parte III: resultado do último passo * 100 e ((número de passos da primeira sequência * 10) + (número de passos da segunda sequência)) * 20 + 1

O resultado do último passo foi 24, dai 24*100=2400. Número de passos da primeira sequência foi 2 (2*10=20), o número de passos da segunda sequência foi 6 (20+6=26). Multiplicando este valor por 20 e somando 1, temos 26*20+1=521. Segue que:

  1. 2400-521=1879
  2. 179-523=1356
  3. 1356-525=831
  4. 831-527=304

Como 304 é menor do que o próximo número impar 529, então paramos o processo. Assim o próximo número da aproximação da raiz de 7 é 4. Logo a aproximação para raiz do número 7 é 2,64, ou seja, \sqrt{7}\approx 2,64.

Aproximação por quadrado da soma de dois termos

Sejam p e q pertencentes aos racionais estritamente positivos e p é o quadrado perfeito mais próximo de q:

  1. p\cong q
  2. p-q\cong 0
  3. (p-q)^2\cong 0
  4. p^2-2pq+q^2\cong 0
  5. p^2+2pq+q^2\cong 4pq
  6. (p+q)^2\cong 4pq
  7. (p+q)\cong \sqrt{4pq}\cong 2\sqrt{p}\sqrt{q}
  8. \sqrt{q}\cong \frac{p+q}{2\sqrt{p}}

Deduzimos, desse modo, a fórmula para o cálculo de uma raiz quadrada de qualquer número racional:

  1. \sqrt{q}\cong \frac{p+q}{2\sqrt{p}}

Vejamos alguns exemplos:

Qual a raiz quadrada aproximada de \sqrt{32}.  Sejam q = 32 e p o quadrado perfeito mais próximo de 32, logo p=36. Então \sqrt{32}\cong \frac{36+32}{2sqrt{36}}\cong \frac{68}{12}=5,66.

Para o exemplo de \sqrt{65}, devemos proceder de maneira análoga, ou seja, \sqrt{65}\cong \frac{64+65}{2\sqrt{64}} = 8,06. De acordo com a máquina de calcular, 8,06.

Método de Herão

Herão de Alexandria foi um matemático de destaque com muita controvérsia sobre a época em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C.. seus trabalhos de Matemática e Física são numerosos e variados, sendo considerado um enciclopedista. Em seu Livro A Métrica, encontra-se o método de Herão de aproximar a raiz quadrada de um número inteiro não-quadrado perfeito. Tal método é hoje utilizado com freqüência por computadores e permite sucessivas aproximações.

Dada a raiz quadrada de um número n, assumindo a0 como uma aproximação inicial, temos:

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Uma melhor aproximação será dada pela próxima iteração:

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Assim prossegue e a cada iteração melhora a aproximação da raiz.

A saber: Se n = a  b, então (a + b)/2 é uma aproximação de √n, que melhora com a proximidade de a e b.

Após a escolha da aproximação inicial a0, podemos construir o algoritmo:

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Onde, para cada iteração k, para todo k = 1, 2, 3, …, encontramos uma raiz akmais aproximada de n.

Surge então a questão: Até quando essas iterações seguem-se? Para evitar que o programa entre numa rotina de cálculos infinitos, inicialmente devemos impor limites, não para as iterações, mas para o erro da aproximação. Ou seja, se quisermos obter uma aproximação de uma raiz com pelo menos 5 casas decimais corretas, com o erro E < 10– 5 , por exemplo, devemos impor uma precisão ε = 1 . 10– 5 e devemos, a cada iteração, fazer o teste da raiz aproximada para checar se satisfaz a precisão ε imposta inicialmente. O erro é dado por E = |(ak)2 – n|. Se o valor absoluto do quadrado da raiz aproximadaak, subtraída de n for menor que a precisão ε, então tome acomo raiz aproximada.

Exemplo: Aproximar √3 pelo método de Herão com precisão de ε = 1 . 10– 4.

Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, tomamos como aproximação inicial a0 = 1,5.

Testamos o erro da aproximação inicial a0. Como |1,52 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

Fazemos:

k = 1

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Como |1,752 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

k = 2

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Como |1,7321428572 – 3| > 10-4, continuamos as iterações:

k = 3

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Como |1,7320581001472 – 3| < 10-4, tomamos a3 como raiz aproximada de √3, com precisão até a sétima casa decimal.

Aproximação de derivada

Neste último método apresentado utilizaremos conceitos de aproximação de derivadas que é um conteúdo de ensino superior que não nos atentaremos aqui.

Então para o cálculo da raiz aproximada de um determinado número y, escrevemos y como y=x\pm \Delta x e utilizaremos a fórmula:

\sqrt{x\pm \Delta x}\cong \sqrt{x}\pm \frac{\Delta x}{2\sqrt{x}}

Onde: x é o número mais próximo de y que é quadrado perfeito (maior ou menor que x) e \Delta x é a diferença entre x e y ou entre y e x.

Exemplo: Vamos calcular a raiz quadrada de 7, ou seja, \sqrt{7}.

O número quadrado perfeito mais próximo de 7 é 9, assim escrevemos: 7=9-2. Assim, temos x=9 e \Delta x=2. Logo,

\sqrt{9-2}\cong \sqrt{9}-\frac{2}{2\sqrt{9}}=3-\frac{2}{6}=2,66.

 

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