Produtos Notáveis

Em muitas expressões matemáticas é comum chegarmos a algo como (x + 3)2 e então precisarmos calcular o produto(x + 3) . (x + 3).

O desenvolvimento deste produto seria:

(x+3)(x+3)=x^2+3x+3x+3^2=x^2+6x+9

Realizamos tal produto multiplicando cada um dos termos do primeiro polinômio por cada termo do segundo polinômio.

Produtos como este são denominados produtos notáveis, pois podemos obter o resultado final sem precisarmos desenvolver o cálculo todo como realizado acima.

Assim como no caso das tabuadas, que as memorizamos a fim de ganharmos agilidade na realização dos cálculos, no caso dosprodutos notáveis também seremos beneficiados se os soubermos de cor.

Quadrado da Soma de Dois Termos

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Exemplos:

  • (x+3)^2=x^2+2\; .\; x\; .\; 3+3^2=x^2+6x+9
  • (2x+y)^2=(2x)^2+2\; .\; 2x\; .\; y+y^2=4x^2+4xy+y^2
  • (5+3b)^2=5^2+2\; .\; 5\; .\; 3b+(3b)^2=25+30b+9b^2

Quadrado da Diferença de Dois Termos

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo:

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Exemplos:

  • (x-7)^2=x^2-2\; .\; x\; .\; 7+7^2=x^2-14x+49
  • (6x-9y)^2=(6x)^2-2\; .\; 6x\; .\; 9y+(9y)^2=36x^2-108xy+81y^2

 

Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo:

(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Exemplos

(a+13)(a-13)=a^2-13^2=a^2-169

(8+2x)(8-2x)=8^2-(2x)^2=64-4x^2

Cubo da Soma de Dois Termos

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo:

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

Exemplos

  • (2a+12)^3=(2a)^3+3\; . (2a)^2\; .\; 12+3\; .\; 2a\; .\; 12^2+12^3=8a^3+144a^2+864a+1728
  • (7+3y)^3=7^3+3\; .\; 7^2\; .\; 3y+3\; .\; 7\; .\; (3y)^2+(3y)^3=343+441y+189y^2+27y^3

 

Cubo da Diferença de Dois Termos

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais três vezes o produto do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, menos o cubo do segundo termo:

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

Exemplos

  • (2a+12)^3=(2a)^3-3\; . (2a)^2\; .\; 12+3\; .\; 2a\; .\; 12^2-12^3=8a^3-144a^2+864a-1728
  • (16+8z)^3=(16)^3-3\; . (16)^2\; .\; 8z+3\; .\; 16\; .\; (8z)^2-(8z)^3=4096^3-6144z+3072z^2-512z^3

 Livro sobre Fatoração

  1. 22/08/2015 às 16:43

    qual é o cálculo de x+8 elevado a 2 ?

    • 22/08/2015 às 21:15

      Isabela estude um assunto chamado produtos notáveis (quadrado da soma de dois termos) então saberás responder.

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