Demonstração de Funções Trigonométricas do semi-arco (ou arco-metade)

Cosseno

 

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para  \cos 2a \;\! a fim de que, dado o cosseno de uma arco  x \;\! qualquer, possamos obter  \cos \frac{x}{2}, \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} \;\! ou  \tan \frac{x}{2} \;\! . Para isto, consideraremos  2a = x \;\! .

A partir de  \cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!:

 \cos x = 2 \cdot \cos^2 \frac{x}{2} - 1

    \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

A partir de

 \cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!,

temos:

 \cos x = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 \frac{x}{2}\;\!

    \Rightarrow \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}

Finalmente, sabendo que

 \tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} ,

temos:

 \tan \frac{x}{2} = \frac{\mathrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}

   \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}

Seno

Caso nos seja dado o  \mathrm{sen}\, x \;\!, sabendo que  \cos x = \pm \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} , calculamos  \cos x \;\! e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

Tangente

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular  \mathrm{sen}\, x \;\!,  \cos x \;\! \tan x \;\!, conhecida a  \tan \frac{x}{2}. Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

 \mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\mathrm{sen}\, a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2 \cdot \tan a}{1 + \tan^2 a} \;\!

 \tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a}

e consideraremos  2a = x \;\! , de modo que:

       \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}

       \tan x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}

       \cos x = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}

Exemplos

1- Se

 \mathrm{sen}\, x = \frac{4}{5} , com  0 < x <\frac{\pi}{2} ,

calcule as funções circulares de   \frac{x}{2} .

Resolução

 \cos x = \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

Logo, temos:

 \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} :  \cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} :
 \tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

2-  Se

 \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{4} ,

determine  \mathrm{sen}\, x \;\!.

Resolução
Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

 \mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}} = \frac{8}{17}


  1. Samoko
    28/04/2013 às 7:07

    Quero saber mais sobre a demostração trigonometria

  2. 10/04/2012 às 21:33

    Abel, converse com seu professor e exponha suas principais dificuldades. Ele saberá te orientar.

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