Função trigonométrica do arco duplo e arco metade

Funções trigonométricas do arco duplo

Considere um arco da circunferência trigonométrica que mede 45°, o seu arco duplo é um arco de 90°, mas isso não significa que o valor das funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) do arco duplo seja o dobro das do arco, por exemplo:

Se o arco for igual a 30º, o seu arco duplo será 60º. O sen 30º = 1/2, o sen 60º = √3/2, portanto, percebemos que por mais que 60º seja o dobro de 30°, o sen 60º não é o dobro do sen 30º. Podemos aplicar essa mesma situação com vários outros arcos e funções trigonométricas, contudo iremos chegar à mesma conclusão.

De uma maneira geral considere um arco qualquer de medida β, o seu arco duplo será 2β, portanto, sen β ≠ sen 2β, ou seja, sen 2β ≠ 2 . sen β.

Assim, para encontrar o valor das funções trigonométricas de um arco duplo (sen 2β, cos 2β e tg 2β) teremos que seguir algumas relações, entre um arco β e o seu arco duplo 2β.

Essas relações serão feitas através das funções trigonométricas da adição de arcos. Veja como:

• Cos 2β
Segundo a adição de arcos, cos 2β é igual a:

cos 2β = cos (β + β) = cos β . cos β – sen β . sen β

Unindo os termos semelhantes teremos:

cos 2β = cos (β + β) = cos2 β – sen2 β

Portanto, o cálculo do cos 2β será feito através da seguinte fórmula:

cos 2β = cos2 β – sen2 β

• Sen 2β

Segundo a adição de arcos, sen 2β é igual a:

Sen 2β = sen(β + β) = sen β . cos β + sen β . cos β

Colocando os termos semelhantes em evidência teremos:

Sen 2β = sen(β + β) = 2 . sen β . cos β

Portanto, o cálculo do sen 2β será feito através da seguinte fórmula:

Sen 2β = 2 . sen β . cos β

• tg 2β

Segundo a adição de arcos, tg 2β é igual a:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 – tg x . tg β

Unindo os termos semelhantes teremos:

tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ 
1 – tg2β

Portanto, o cálculo do tg 2β será feito através da seguinte fórmula:

tg 2β = 2 tgβ
           1 – tg2β

Função trigonométrica do arco metade

Para encontrar as fórmulas das funções trigonométricas (cos, sen e tg) do arco metade, iremos considerar um arco qualquer x e o seu arco metade sendo x/2.

• Cos (x/2).

Sabendo que cos 2 β = cos2 β – sen2 β, substituindo sen2 β por sen2 β = 1 – cos2β, teremos:

cos 2 β = cos2 β – 1 – cos2 β = 2cos2 β – 1, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:

Cos x =2cos2 (x/2) – 1

Isolando cos2 (x/2), teremos:

cos2 (x/2) = cos x + 1
2

Portando, o cosseno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:

• Sen x/2

Sabendo que cos 2β = cos2 β – sen2 β, substituindo cos2 β por cos2 β = 1 – sen2β, teremos:

cos 2 β = 1 – sen2 β – sen2 β = 1- 2sen2 β, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:

Cos x = 1- 2 sen2 (x/2)

Isolando sen2 (x/2), teremos:

sen2 (x/2) = 1 – cos x
2

Portando, o seno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:

• Tg (x/2)

Sabendo que tg β = sen β. Podemos dizer que:
cos β

Tg (x/2) = sen (x/2).
cos (x/2)

Portando, a tangente do arco metade será calculada pela seguinte fórmula:

Veja também:

Trigonometria – Introdução

Teorema de Pitágoras

Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Agudos

Ângulos Notáveis

Secante, Cossecante e Cotangente

Circunferência Trigonométrica

Simetria no Círculo Trigonométrico

Relação Fundamental da Trigonometria

Arcos com Mais de uma Volta

Comprimento de um Arco

Fórmulas de transformação de soma em produto

Equações Trigonométricas

Funções Trigonométricas

Resumo das fórrmulas Trigonométricas

Lei do Cosseno e Lei do Seno

Aplicações da Lei do Seno e Lei do Cosseno

Aplicações Trigonométricas na Física

Arcos e Movimento Circular

Comprimento de uma Curva

Conversões de Medidas de Ângulos

Calculadora Científica na Trigonometria

Demonstrações Trigonométricas

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