Lei do Cosseno e Lei do Seno

Lei dos Cossenos

Faremos, aqui, o estudo da lei dos cossenos e suas aplicabilidades.

Vejamos a demonstração da lei dos cossenos:

Considere o triângulo acutângulo abaixo, sendo CH a altura relativa ao lado AB.

No triângulo BCH, temos que:

 No triângulo ACH, temos que:

Substituindo (II) e (III) em (I), obtemos:

De forma análoga, obtemos:

As três igualdades anteriores são chamadas de Lei dos Cossenos, que diz: “Num triângulo qualquer, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado”.

Lembre-se que a Lei dos cossenos vale para qualquer triângulo.

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Determine o valor de x no triângulo ABC acutângulo abaixo.

Solução: Aplicando a lei dos cossenos, temos que:

Exemplo 2. Determine o valor de y no triângulo obtusângulo abaixo.

Solução: Lembrando que a lei dos cossenos também é válida para o triângulo obtusângulo, temos que:

Exemplo 3

Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:

a² = b² + c² – 2 * b * c * cos?
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0

Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:

x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.

Exemplo 4

Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.

Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.

Aplicando a lei dos cossenos

a = 7, b = 6 e c = 5

7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2

O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.

Exemplo 5

Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.

cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5

x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7

LEI DOS SENOS

Faremos o estudo da lei dos senos para um triângulo qualquer.

Vejamos, primeiro, a demonstração de tal lei.

Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB.

No triângulo ACH, temos que:

No triângulo BCH, temos que:

De (I) e (II), obtemos:

Assim, podemos concluir que:

Que é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos.

A demonstração acima foi feita para um triângulo acutângulo, mas a mesma pode ser realizada para qualquer triângulo de forma análoga, chegando ao mesmo resultado.

Vejamos alguns exemplos de aplicação da lei dos senos.

Exemplo 1. Determine o valor de c no triângulo obtusângulo abaixo:

Solução: Aplicando a lei dos senos, teremos:

Sabemos que sen 120o = sen 60o. Assim, teremos:

Exemplo 2. No triângulo acutângulo a seguir, determine o valor de x.

Solução: Utilizando a lei dos senos, temos que:

Veja também:

Trigonometria – Introdução

Teorema de Pitágoras

Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Agudos

Ângulos Notáveis

Secante, Cossecante e Cotangente

Circunferência Trigonométrica

Simetria no Círculo Trigonométrico

Relação Fundamental da Trigonometria

Arcos com Mais de uma Volta

Comprimento de um Arco

Função trigonométrica do arco duplo e arco metade

Fórmulas de transformação de soma em produto

Equações Trigonométricas

Funções Trigonométricas

Resumo das fórrmulas Trigonométricas

Aplicações da Lei do Seno e Lei do Cosseno

Aplicações Trigonométricas na Física

Arcos e Movimento Circular

Comprimento de uma Curva

Conversões de Medidas de Ângulos

Calculadora Científica na Trigonometria

Demonstrações Trigonométricas

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  1. Andre Luis
    22/03/2017 às 22:22

    Q legal,tirou minhas duvidas.

  2. Inacio Henrique Santos
    09/11/2016 às 11:37

    Mais um inscrito…

  3. 15/10/2016 às 16:22

    Eduardo dar uma olhada no assunto redução de arcos ao primeiro quadrante.

  4. Marnilson
    29/09/2016 às 14:12

    muito úti

  5. adriano
    26/08/2016 às 0:00

    Foi muito útil a teoria as resoluções, pois me auxiliaram no estudo com minha filha. Parabéns pelo trabalho.

  6. Rebeca Brandão
    09/07/2016 às 14:42

    Olá,professor! Bom dia! Existe seno de 75 em fração?
    Att. Rebeca-421

    • 12/07/2016 às 0:12

      Sim Rebeca, é \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}. Em breve ensinarei como obter seno, cosseno e tangente de ângulos que não são notáveis, como é o caso do 75 graus.

  7. Lucas
    15/04/2016 às 18:51

    Muito Bacana. Serviu pra fixar os conteúdos que eu ja sabia, através das questões. Obrigado ao site.

  8. clesllane maria
    27/10/2015 às 13:30

    Muito bm aprendi bastante sobre o assuntoo

  9. ludmila
    20/01/2015 às 10:41

    Ola,minha duvida é de como saber qual o valor eu substituo nos lados a, b e c na formula dos cossenos,pois é complicado saber qual o lado seria o a. Se fosse triangulo retangulo o a seria a hipotenusa ,mas nesse ai complica saber.

    • 20/01/2015 às 19:29

      Ludmila, o a vai ser o lado oposto ao ângulo que você tem o valor. O b e c são os lados que formam esse ângulo. Ok?

    • 13/07/2016 às 5:39

      Para saber qual lado ficará oposto a qual ângulo,basta que você saiba que cada lado é proporcional ao seu angulo(oposto ao lado),ou seja,o lado maior terá um angulo maior oposto a ele,o lado menor terá o angulo menor oposto a ele e assim também para angulo médio. Espero ter ajudado 🙂

  10. 23/10/2014 às 0:05

    ótimo bem bacana

  11. 24/09/2014 às 12:42

    E bom

  12. 18/09/2014 às 20:31

    e_desde_quando_o_cosseno_de_120_é:(-0,5)

    • 23/09/2014 às 13:15

      120^0 tá no segundo quadrante, portanto cosseno é negativo sim (oposto do cosseno de 60^0). Tens que estudar ângulos notáveis e arcos côngruos.

    • Rhuana Montarroyos
      02/05/2015 às 19:31

      0,5 é o mesmo que 1/2

  13. Tomas turbando
    05/08/2014 às 19:40

    muito bom

  14. ana
    15/05/2014 às 15:48

    Consegui fazer o trabalho de Matemática, Obriiiiiigado ! [:

  15. kdkkfj@hotmail.com
    14/04/2014 às 23:04

    po vlw, precisava mt aprimorar mais isso, meus simulados da aeronautica estao cada vez mais legais e faceis de entender e assim eu vou aprendendo mais. vlw.

    • 23/04/2014 às 11:17

      Que bom, fico feliz em ajudar.

  16. 21/08/2013 às 23:37

    Muito Obrigado… Essas questões são espetaculares.

  17. Elizabeth Pereira
    04/10/2012 às 17:17

    obrigada.me ajudou muito…

  18. guh balbina
    13/06/2012 às 21:35

    poo trabalho d matematica com esse conteudo ajudo d ++

  19. Caio Lívius
    02/06/2012 às 2:23

    Waldex, além destes exercícios vc disponibiliza mais algum ?
    Em nossa avaliação não cairá leis de senos e cossenos não né ?

    • 02/06/2012 às 3:47

      Caio, vocês serão avaliados com o assunto de Logaritmos e com Trigonometria no triângulo retângulo, conforme havia dito em sala. Colocarei mais exercícios em breve, porém relacionados a Lei dos Senos e Cosseno e Trigonometria na circunferência.

  20. Cristina Alvim
    01/11/2011 às 11:11

    Só quero agradecer. Adoro matemática, embora seja fraca nesta matéria. Continue nos ajudando.

    • 01/11/2011 às 13:21

      Ok, Cristina, sinta-se a vontade para dar sugestões.

  21. Joyce Calori
    24/10/2011 às 16:25

    legal curti

    • 11/11/2016 às 20:14

      Vcs poderiam falar mais sobre a lei do cossenos e lei de senos
      Pofavor

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