Séries de Taylor

Em matemática, a série de Taylor ou série de potências é uma série de funções da seguinte forma:

T(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n

A constante a\, é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin).

Estas séries devem o seu nome a Brook Taylor que as estudou no trabalho Methodus incrementorum directa et inversa em 1715. Condorcet atribuía estas séries a Taylor e d’Alembert e o nome série de Taylor só começou a ser usado em 1786, por l’Huillier.

Série de Taylor associada a uma função

A série de Taylor associada a uma função f infinitamente diferenciável (real ou complexa) definida em um intervalo aberto (a − rar) é a série de potências dada por
 f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}.

Onde, n! é o fatorial de nf (n)(a) denota a n-ésima derivada de f no ponto a.

Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.

Lista de série de Taylor de algumas funções comuns

Função exponencial e logaritmo natural:

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ para todo } x
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Série geométrica:

\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Teorema binomial:

(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ para todo } \left| x \right| < 1\quad\mbox{ e todo complexo } \alpha

Funções trigonométricas:

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + .. \mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
onde Bs são números de Bernoulli.
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Funções hiperbólicas:

\sinh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x
\cosh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ para todo } x
\tanh \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ para } \left|x\right| < \frac{\pi}{2}
\mathrm{arcsen} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1
\mathrm{arctan} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Função W de Lambert:

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < \frac{1}{\mathrm{e}}
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor
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