A Função Exponencial e Logaritmos nas diversas áreas do conhecimento

Exemplo 1 – Matemática Financeira

(UERJ-2003) Jorge quer vender seu carro por R$ 40.000,00. Pedro, para comprá-lo, dispõe de R$ 5.000,00, e aplica esse valor em um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 28% a cada dois anos. Considere que a desvalorização do carro de Jorge seja de 19% a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro no período de dois anos imediatamente anterior.Calcule o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro suficiente para comprar o carro de Jorge. Utilize, em seus cálculos, log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.

Devemos calcular o montante utilizando a valorização do dinheiro aplicado e a desvalorização do carro. Devemos descobrir quanto tempo levará para que os montantes sejam iguais; para isso, façamos então o cálculo de cada montante.

Dinheiro aplicado

Desvalorização do carro

Note que na expressão do montante referente à desvalorização do carro o sinal é negativo, pois o carro irá desvalorizar 19% a cada dois anos.

Como queremos encontrar o tempo em que os montantes serão iguais, devemos igualar os montantes.

Com isso, teremos:

Lembre-se da relação que o enunciado lhe deu, foi informado apenas o log2 e o log3, portanto devemos organizar os logaritmandos para que sejam escritos como potências dos números 2 e 3.

Sendo assim, voltemos à expressão a ser calculada.

Aplicando as propriedades de logaritmo que diz que:

Temos que:

Portanto, apenas depois de 10 anos Pedro teria dinheiro para comprar o carro de Jorge.

Note que o único passo “complicado” foi o que precisava escrever os números como potências de 2 e 3. Mas a partir da reflexão sobre os dados que o problema oferece, saberemos que quando nos depararmos com situações como esta, o procedimento será parecido. O restante da resolução foi solucionado através de operações e propriedades dos logaritmos.

Exemplo 2: Matemática Financeira 
Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)^t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?

M = C * (1 + i)^t
3500 = 500 * (1 + 0,035)^t
3500/500 = 1,035^t
1,035^t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035^t = log 7
t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Exemplo 3 – Geografia 
Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0
População após um ano = P0 * (1,03) = P1
População após dois anos = P0 * (1,03)²= P2

População após x anos = P0 * (1,03)^x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2*P0
P0 * (1,03)^x = 2 * P0
1,03^x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03^x = log 2
x * log 1,03 = log2
x * 0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

Exemplo 4 – Química
Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:
Q = Q₀ * e^–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q₀ * e^–rt
200 = 1000 * e^–0,02t
200/1000 = e^–0,02t
1/5 = e^–0,02t (aplicando definição)
–0,02t = log_e1/5
–0,02t = log_e5^–1
–0,02t = –log_e5
–0,02t = –ln5 x(–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g

Exemplo 5: Química (Radioatividade)

 Os químicos, para determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa, utilizam a fórmula Q = Q₀ * (2,71)^–rt , em que Q é a massa da substância, Q₀ é a massa inicial, r é taxa de redução da radiatividade e t é o tempo em anos.  Podemos calcular o tempo gasto para 300 g de determinada substância se reduzir a 200g,  a uma taxa de 7% ao ano.

Exemplo 6: Medicina

Quando um paciente ingere um medicamento, a droga entra na corrente sanguínea e, ao passar pelo fígado e pelos rins, é metabolizada e eliminada a uma taxa que é proporcional à quantidade presente no corpo. Suponha uma super-dose de um medicamento cujo princípio ativo é de 500 mg. A quantidade q desse princípio ativo que continua presente no organismo t horas após a ingestão é dada pela expressão q(t) = 500 . (0,6)^t . Usando ln3 = 1,1, ln5 = 1,6 e ln2 = 0,7, é possível obter o tempo necessário para que a quantidade dessa droga presente no corpo do paciente seja menor que 100 mg.