Exercícios Resolvidos

A – Exercícios resolvidos

1 – E.E. Lins/1968

Dados os vértices P(1,1) , Q(3,- 4) e R(- 5,2) de um triângulo, o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q é:

  1. a) 12,32
    b) 10,16
    c) 15,08
    d) 7,43
    e) 4,65

Solução:

Seja o triângulo PQR abaixo:

Sendo M o ponto médio do lado PR, o segmento de reta QM será a mediana relativa ao lado PR.
Sendo os pontos P(1,1) e R(-5,2), o ponto médio M será: M(-2, 3/2).
Observe que:
-2 = [1 + (- 5)]/2 e 3/2 = (1 + 2)/2.

Em caso de dúvida, reveja Geometria Analítica  clicando AQUI.
O comprimento da mediana procurado, será obtido calculando-se a distancia entre os pontos Q e M.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, vem:

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

2 – EPUSP/1966

Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equação sen(x – y) = 0 constituem:

  1. a) uma reta
    b) uma senóide
    c) uma elipse
    d) um feixe de retas paralelas
    e) nenhuma das respostas anteriores

Solução:

O seno é nulo para os arcos expressos em radianos: 0, p , 2p , 3p , 4p, … , kp , onde k é um número inteiro. Logo:
sen(x – y) = 0 Þ x – y = kp.

Daí, vem:
– y = – x + kp \ y = x – kp , k Î Z.

Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de retas de mesmo coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja:
………………………………………………………….
k = – 1 reta: y = x + p
k =   0 reta: y = x
k =   1 reta: y = x – p , e assim sucessivamente.
………………………………………………………….

Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas).

3 – A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas cartesianas:

  1. a) uma hipérbole
    b) uma elipse
    c) uma circunferência
    d) uma parábola
    e) duas retas

Solução:

Temos: x2 – y2 + x + y = 0 ; podemos escrever:
(x – y)(x + y) + (x + y) = 0;

Observe que (x-y)(x+y)= x2 – y2

Fatorando, fica:
(x + y) (x – y + 1) = 0

Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter necessariamente:
x + y = 0 ou x – y + 1 = 0 ;

Logo,
y = – x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que nos leva à alternativa E.

B – Exercícios propostos

1 – FAUUSP/1968 – Determine a área do triângulo ABC onde A, B e C são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo M(-1, -5), N(1,3) e P(7, -5).

Em caso de dúvida, reveja ponto médio de um segmento e cálculo de área de um triângulo.

Resposta: 8 u.a (8 unidades de área).

2 – EPUSP/1963 – Dado o ponto A(1,2), determine as coordenadas de dois pontos P e Q, situados respectivamente sobre as retas
y = x e y = 4x, de tal modo que A seja o ponto médio do segmento PQ.

Em caso de dúvida, reveja equação da reta.

Resposta: P(4/3,4/3) e Q(2/3,8/3)

3 – FAUUSP/1968 – Determine a equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação 2x2 + 2y2 + 4x + 1 = 0 e é perpendicular à reta de equação x + 2y – 1 = 0.

Em caso de dúvida,reveja circunferência.

Resposta: y = 2x + 2