"Não há cura para o nascimento e a morte, a não ser usufruir o intervalo." (George Santayana)

Problemas de aplicação da função quadrática

Flagrante da vida real I

 Francisco, filho de um proprietário de uma frota de ônibus, frequentava a escola do Ensino Fundamental. Certo dia, numa aula sobre equação do 2º grau, o professor Sebá ensinou como achar o vértice da parábola. No fim da aula, o professor Sebá passou vários exercícios para casa.
Francisco ao chegar em casa, sua mãe pergunta:
— Francisco, qual o dever de casa? Francisco responde:
— Achar as raízes da equação do 2º grau e o vértice da parábola.
Marcelo, o pai de Francisco, ao ouvir falar em achar as raízes da equação do 2º grau e o vértice da parábola, diz:
— Na época em que estudei o 1º grau, nunca tive o menor interesse em achar as raízes da equação do 2º grau ou o vértice da parábola!
—  Por que papai?
— Porque nunca tive a oportunidade de ver, em sala aula, uma só aplicação da equação do 2º grau num problema da vida real.

— No final da aula, papai, o professor Sebá pediu aos alunos que não faltassem a próxima aula porque ia mostrar algumas aplicações da equação do 2º grau em problemas da vida real.

— Meu filho, pergunte ao professor Sebá se, por meio da equação do 2º grau, será possível eu conseguir obter a maior receita possível na  minha frota de ônibus?

—   E quais as informações, sobre sua frota de ônibus, que deverei fornecer ao professor Sebá?
Flagrante da vida real I

— Anote aí: tenho uma frota de ônibus, e alugo cada ônibus para 40 ou mais passageiros. Se o número de passageiros for exatamente 40, cada um pagará R$350,00. Haverá um abatimento de R$5,00 para cada passageiro que exceder os 40. Como a capacidade de cada ônibus é de 60 passageiros, qual deverá ser o número de passageiros em cada ônibus, a fim de que eu obtenha a maior receita possível, ou seja, a receita máxima? Qual o valor da receita máxima?

Na aula seguinte, Francisco apresenta o problema ao professor Sebá. Ao lê-lo, o professor Sebá diz para a turma:
— Bem, pessoal, eu ia formular para vocês, um problema hipotético para ser resolvido por meio da equação do 2º grau, mas Francisco me apresentou um problema que seu pai formulou, relacionado com sua frota de ônibus. Vou ler o problema para vocês. Após lê-lo, o professor Sebá vai ao quadro-negro e escreve:
Resolução:
Seja R= Receita. Logo, R= Número de passageiros vezes pagamento por passageiro. Se o número de passageiros passar de 40 para 41, então:
 
Pagamento por passageiro =3505(4140)=3505(1).
Se o número de passageiros passar de 40 para 42, então:
 
Pagamento por passageiro =3505(4240)=3505(2). E assim por diante.
Se o número de passageiros for x, então:
Pagamento por passageiro =3505(x40)=3505x+200=5505x. Como x corresponde ao número de passageiros, e a receita é igual ao número de passageiros vezes pagamento por passageiro, logo:
R=x(5505x) ou R(x)=5x2+550x
 
Vamos achar o valor de x que dá o máximo à R(x)=5x2+550x de duas maneiras:
a) Por meio da fórmula de Bhaskara.
b) Por meio do vértice da parábola.
a) Vamos tirar, de R(x)=5x2+550x, os dados necessários para usar na fórmula de Bhaskara:
Dados: a=5; b=550 e c=0.

Substituindo os dados na fórmula de Bhaskara, obtém-se:

x=b±b24ac−−−−−−−√2a

x=550±55024(5)(0)−−−−−−−−−−−−−√2(5)

x1=0 e x2=110
Como o valor máximo (VM) de R(x) é dado pela média entre as duas raízes, logo:

VM=x1+x22

VM=0+1102

VM=55
Portanto, x=55 dá o maior valor à R(x)=5x2+550x.
b) Já que a equação da receita é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de x2 é negativo, então, a receita atinge o máximo no vértice da parábola. Como o vértice da parábola é dado por:

V(b2a,(b24ac)4a)

Xv=b2a

Yv=(b24ac)4a

Onde:
V= Vértice da parábola
Xv=X do vértice
Yv=Y do vértice
Δ=b24ac

Como a=5 e b=550, logo:

Xv=5502(5)

Xv=55
Portanto: x=55.
O professor Sebá volta-se para Francisco, e diz:
— Como x corresponde ao número de passageiros, logo, para seu pai obter a maior receita possível, ele deve alugar cada ônibus para grupo de 55 passageiros. Se seu pai alugar ônibus para grupo com menos de 55 passageiros ou mais, a receita será menor.
Após a aula Francisco retorna a sua casa, e ao encontrar o pai, diz:
— Papai, o professor Sebá resolveu o seu problema!
— Mostre-me!
Marcelo ao ver a solução do problema, diz ao filho:
Nós empresários, meu filho, podemos estar certos de que, toda a matemática do 1º grau que aprendemos nas escolas “chatas” da vida, tem um valor incalculável para os problemas que nos defrontamos no dia a dia.
São resultados que os seres humanos levaram centenas, milhares de anos para descobrir. No entanto, o empresário simplesmente não sabe, e muitos nem desconfiam, do quanto a Matemática pode ser-lhes útil. Se o empresário diplomado (ou não) tivesse noção do quanto desperdiça realizando um projeto sem aplicar Matemática, seu comportamento seria outro: procuraria um profissional competente em assuntos matemáticos.
— Por que um profissional competente em assuntos matemáticos?
— Porque, meu filho, a arte de aplicar a Matemática à vida, não é ensinada nas escolas “chatas” da vida, pela razão óbvia de os professores (a maioria) desconhecerem por completo, que a Matemática do Ensino Fundamental pode ser muito útil para qualquer atividade empresarial.

Flagrante da vida real II

O filho de outro proprietário de uma frota de ônibus apresentou o seguinte problema ao professor Sebá: papai é proprietário de uma frota de ônibus e ele aluga ônibus para grupos de 35 ou mais pessoas. Caso o grupo contenha exatamente 35 pessoas, cada uma pagará R$60,00. Para grupos maiores, ele reduz R$1,00 de cada passageiro que exceder os 35.
Se a capacidade de cada ônibus for de 50 passageiros, qual deverá ser o tamanho do grupo, a fim de que papai obtenha a maior receita por ônibus alugado, ou seja, a receita máxima? Qual o valor da receita máxima?
O professor Sebá vai ao quadro-negro e escreve:
Resolução:
Designando a receita por R, obtém-se:
R= número de pessoas do grupo vezes pagamento por pessoa          (1)
Seja x o número de pessoas que excede 35. Logo, teremos:
Número de pessoas do grupo =35+x             (2)
Pagamento por pessoa =60x              (3)
Substituindo (2) e (3) na (1), vem:
R=(35+x)(60x)=x2+25x+2100 ou R(x)=x2+25x+2100
Vamos achar o valor de x que dá o máximo à R(x)=x2+25x+2100, de duas maneiras:
a) Por meio da fórmula de Bhaskara.
b) Por meio do vértice da parábola.
a) Vamos tirar, de R(x)=x2+25x+2100, os dados necessários para usar na fórmula de Bhaskara:
Dados: a=1; b=25 e c=2100.

Substituindo os dados na fórmula de Bhaskara, obtém-se:

x=b±b24ac−−−−−−−√2a

x=25±2524(1)(2100)−−−−−−−−−−−−−−−√2(1)

x1=35 e x2=60

Como o valor máximo (VM) de R(x) é dado pela média entre as duas raízes, logo:

VM=x1+x22

VM=35+602

VM=12,5
Portanto, x=12,5 dá o maior valor à R(x)=x2+25x+2100.
b) Já que a equação da receita é do 2º grau, logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de x^{2} é negativo, então, a receita atinge o máximo no vértice da parábola. Como o vértice da parábola é dado por:

V(b2a,(b24ac)4a)

Xv=b2a

Yv=(b24ac)4a

Onde:
V= Vértice da parábola
Xv=X do vértice
Yv=Y do vértice
Δ=b24ac

Como a=1 e b=25, logo:

Xv=252(1)

Xv=12,5

Portanto, x=12,5.

Ora, como x é um número que representa pessoa, logo, x deverá ser um número inteiro. Os dois números inteiros que dão o maior valor à R(x), são os que estão antes e depois de 12,5.
Logo, x=12 ou x=13. Se não, vejamos:
R(12)=(12)2+25(12)+2100=R$2.256,00
R(13)=(13)2+25(13)+2100=R$2.256,00
Resposta:
A fim de que seu pai obtenha a máxima receita, o grupo deverá conter 12 ou 13 pessoas além das 35, ou seja, grupo de 47=35+12 ou 48=35+13.
Resolução alternativa:
Seja x o número de pessoas do grupo:
Pagamento por pessoa =60(x35).

Já que R= número de pessoas do grupo vezes pagamento por pessoa, logo, obtém-se:

R=x[60(x35)]=x2+95x                (1)

Da (1), temos: a=1 e b=95. Logo:

Xv=952(1)

Xv=47,5
Portanto, x=47,5.
Já que x é o número que representa pessoa, logo, x deverá ser um número inteiro. Os dois números inteiros que dão o maior valor à (1), são os que estão antes e depois de 47,5. Logo, x=47 ou x=48. Se não, vejamos:
R(47)=(47)2+95(47)=R$2.256,00
R(48)=(48)2+95(48)=R$2.256,00

Resposta.

A fim de que seu pai obtenha a máxima receita, o grupo deverá conter 47 ou 48 pessoas. A receita máxima será R$2.256,00.

Este artigo foi escrito e enviado por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.Foi extraído do site http://www.prof-edigleyalexandre.com/

 

ΜΔπΣΜΔπФ¢Δ – OS 10 MANDAMENTOS

  1. Nunca dividirás por zero;
  2. Simplificai sempre que possível (simplificai hoje, simplificai amanhã, simplificai sempre);
  3. Não cortarás (cancelarás) denominador em vão;
  4. Não calcularás quadrado da soma como soma dos quadrados;
  5. Não levantarás falso teorema;
  6. Não matarás aulas;
  7. Prestarás atenção a todas as aulas como se fosse a última;
  8. Não deixarás para estudar na “última hora”;
  9. Não temerás o MMC nem as frações;
  10. Não cobiçarás respostas alheias.

Por Valdex Santos

II FASE DA OBMEP 2016

DADOS DO CENTRO DE APLICAÇÃO – LOCAL DE PROVA

Centro de Aplicação: COLEGIO ESTADUAL LUIZ VIANA FILHO
Endereço do local de prova: AVENIDA LIONS CLUB – S/N – PREDIO – JEQUIEZINHO – JEQUIÉ – BA
Data e horário: Sábado, 10 de setembro, 14:30h (horário de Brasília)

Relação dos alunos:

Posição Código Aluno Nome do Aluno
1 BA29397987301900 ADRIEL ROCHA SANTANA
2 BA29397987302162 ANDERSON ARTHUR MOTA SILVA
3 BA29397987300906 BRUNO SOUZA NASCIMENTO
4 BA29397987301492 CARLOS DAVI SILVA PEREIRA
5 BA29397987301601 CAROLAINE SANTOS DA PAZ
6 BA29397987302009 CHRISTIAN LOPE OLIVEIRA ALVES
7 BA29397987300670 DAVID ALMEIDA SANTOS
8 BA29397987301479 DJAIR MAYKON DE NOVAES MIRANDA
9 BA29397987302022 ENDRIO LOPES SOARES FURTUOSO
10 BA29397987300931 GISELE GOMES OLIVEIRA
11 BA29397987300426 GUILHERME DE JESUS MEIRA
12 BA29397987302617 GUILHERME DOS SANTOS RAMOS
13 BA29397987300505 IGOR SOUSA DOS SANTOS SANTANA
14 BA29397987302691 ISABELY SALES DOS SANTOS
15 BA29397987303300 JOAQUIM CELSON DOS SANTOS ARAUJO
16 BA29397987300852 LARA YANE GOMES LIMA
17 BA29397987303087 LUAN DE JESUS MARINHO
18 BA29397987300633 VINICIUS MOREIRA BARRETO
19 BA29397987301560 VITOR JOSE DA GUARDA PEREIRA

Fórmulas Matemáticas

No link abaixo poderás encontrar um resumo das principais fórmulas Matemáticas que é preciso conhecer. Esta lista não foi organizada por anos de escolaridade mas sim por temas. Basta escolheres um dos tópicos para visualizar as fórmulas referentes a esse assunto.

Link: http://www.matematica.pt/util/formulas.php

O que são fórmulas matemáticas?

Uma fórmula matemática pode surgir de um insight (uma intuição). Pode surgir de um experimento. Pode ser criada em consequência de outra fórmula. Toda fórmula matemática é verdadeira? Depende de uma demonstração rigorosa.

Uma fórmula matemática não é apenas uma expressão algébrica recheada de letras, números e símbolos. Dependendo de sua complexidade, ela trás conceitos simples e/ou abstratos, condições de existência e que necessita de pré-requisitos para compreendê-la e manuseá-la. A sua fluência em Matemática é importante para ler e compreender.
Fórmulas matemáticas devem ser demonstradas para que sejam aceitas como verdadeiras pela comunidade científica. Neste caso, uma comunidade mundial formada por matemáticos conceituados, verificam sua veracidade. Para provar que as fórmulas são verdadeiras ou não, os matemáticos utilizam técnicas rigorosas afim de demonstrar definitivamente se uma fórmula matemática (uma equação, inequação, etc.) está correta, tem falhas ou está totalmente errada. Algumas técnicas são:
  • Prova direta: a conclusão é estabelecida através da combinação lógica dos axiomas, definições e teoremas já existentes.
  • Prova por indução: um caso base é provado e uma regra de indução é usada para provar uma série de outros casos (normalmente infinita).
  • Prova por contradição: é mostrado que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradição lógica, e portanto o enunciado deve ser falso.
  • Prova por construção: consiste em construir um exemplo concreto com determinada propriedade para mostrar que existe algo com tal propriedade.
  • Prova por exaustão: a conclusão é estabelecida dividindo o problema em um número finito de casos e provando cada um separadamente.
  • Prova por força bruta: é o método que consiste em provar algum teorema (ou apresentar algum contra-exemplo) pelo método exaustivo de calcular cada caso possível.

 

A fórmula matemática considerada mais linda está logo abaixo.
e^{i\pi}+1=0

 

Em www.matematica.pt há uma lista de fórmulas matemáticas divididas em áreas como Trigonometria, Áreas de figuras planas, Volume, etc., todas escritas em Latex para facilitar o seu entendimento.
Dica de livro:
Título do livro: As grandes equações – A história das fórmulas matemáticas mais importantes e os cientistas que as criaram. Compare os preços no Google Shopping.
Fonte: http://www.prof-edigleyalexandre.com/

Calendário de Avaliações

Caros alunos, segue as novas datas de avaliações da II Unidade

Veja aqui de acordo com sua turma

A Matemática e a Invenção do Jogo de Xadrez

A invenção do jogo de xadrez se relaciona diretamente com a matemática. Na verdade existem diversas mitologias associadas à criação do jogo de xadrez, sendo uma das mais famosas aquela que a atribui a um jovem brâmane indiano chamado Lahur Sessa. Segundo a lenda do xadrez, contada em O Homem que Calculava, do escritor e matemático Malba Tahan, numa província indiana chamada Taligana havia um poderoso rajá que havia perdido o filho em batalha. O rajá estava em constante depressão e passou a descuidar-se de si e do reino.

Certo dia o rajá foi visitado por Sessa, que apresentou ao rajá um tabuleiro com 64 casas brancas e negras com diversas peças que representava a infantaria, a cavalaria, os carros de combate, os condutores de elefantes, o principal vizir e o próprio rajá. Sessa explicou que a prática do jogo daria conforto espiritual ao rajá, que finalmente encontraria a cura para a sua depressão, o que realmente ocorreu.

O rajá, agradecido, insistiu para que Sessa aceitasse uma recompensa por sua invenção e o brâmane pediu simplesmente um grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta e assim sucessivamente até a última casa. Espantado com a modéstia do pedido, o rajá ordenou que fosse pago imediatamente a quantia em grãos que fora pedida.

Depois que foram feitos os cálculos, os sábios do rajá ficaram atônitos com o resultado que a quantidade grãos havia atingido, pois, segundo eles, toda a safra do reino durante 2.000 anos não seriam suficientes para cobri-la. Impressionado com a inteligência do brâmane, o rajá o convidou para ser o principal vizir do reino, sendo perdoado por Sessa de sua grande dívida em trigo.

Fonte: http://www.tabuleirodexadrez.com.br