"Não há cura para o nascimento e a morte, a não ser usufruir o intervalo." (George Santayana)

Piada trigonométrica

Quem consegue entender a piada da imagem abaixo? Poste nos comentários.

sencos1

TABELA TRIGONOMÉTRICA

Ângulo sen cos tg
1 0,017452 0,999848 0,017455
2 0,034899 0,999391 0,034921
3 0,052336 0,99863 0,052408
4 0,069756 0,997564 0,069927
5 0,087156 0,996195 0,087489
6 0,104528 0,994522 0,105104
7 0,121869 0,992546 0,122785
8 0,139173 0,990268 0,140541
9 0,156434 0,987688 0,158384
10 0,173648 0,984808 0,176327
11 0,190809 0,981627 0,19438
12 0,207912 0,978148 0,212557
13 0,224951 0,97437 0,230868
14 0,241922 0,970296 0,249328
15 0,258819 0,965926 0,267949
16 0,275637 0,961262 0,286745
17 0,292372 0,956305 0,305731
18 0,309017 0,951057 0,32492
19 0,325568 0,945519 0,344328
20 0,34202 0,939693 0,36397
21 0,358368 0,93358 0,383864
22 0,374607 0,927184 0,404026
23 0,390731 0,920505 0,424475
24 0,406737 0,913545 0,445229
25 0,422618 0,906308 0,466308
26 0,438371 0,898794 0,487733
27 0,45399 0,891007 0,509525
28 0,469472 0,882948 0,531709
29 0,48481 0,87462 0,554309
30 0,5 0,866025 0,57735
31 0,515038 0,857167 0,600861
32 0,529919 0,848048 0,624869
33 0,544639 0,838671 0,649408
34 0,559193 0,829038 0,674509
35 0,573576 0,819152 0,700208
36 0,587785 0,809017 0,726543
37 0,601815 0,798636 0,753554
38 0,615661 0,788011 0,781286
39 0,62932 0,777146 0,809784
40 0,642788 0,766044 0,8391
41 0,656059 0,75471 0,869287
42 0,669131 0,743145 0,900404
43 0,681998 0,731354 0,932515
44 0,694658 0,71934 0,965689
45 0,707107 0,707107 1
46 0,71934 0,694658 1,03553
47 0,731354 0,681998 1,072369
48 0,743145 0,669131 1,110613
49 0,75471 0,656059 1,150368
50 0,766044 0,642788 1,191754
51 0,777146 0,62932 1,234897
52 0,788011 0,615661 1,279942
53 0,798636 0,601815 1,327045
54 0,809017 0,587785 1,376382
55 0,819152 0,573576 1,428148
56 0,829038 0,559193 1,482561
57 0,838671 0,544639 1,539865
58 0,848048 0,529919 1,600335
59 0,857167 0,515038 1,664279
60 0,866025 0,5 1,732051
61 0,87462 0,48481 1,804048
62 0,882948 0,469472 1,880726
63 0,891007 0,45399 1,962611
64 0,898794 0,438371 2,050304
65 0,906308 0,422618 2,144507
66 0,913545 0,406737 2,246037
67 0,920505 0,390731 2,355852
68 0,927184 0,374607 2,475087
69 0,93358 0,358368 2,605089
70 0,939693 0,34202 2,747477
71 0,945519 0,325568 2,904211
72 0,951057 0,309017 3,077684
73 0,956305 0,292372 3,270853
74 0,961262 0,275637 3,487414
75 0,965926 0,258819 3,732051
76 0,970296 0,241922 4,010781
77 0,97437 0,224951 4,331476
78 0,978148 0,207912 4,70463
79 0,981627 0,190809 5,144554
80 0,984808 0,173648 5,671282
81 0,987688 0,156434 6,313752
82 0,990268 0,139173 7,11537
83 0,992546 0,121869 8,144346
84 0,994522 0,104528 9,514364
85 0,996195 0,087156 11,43005
86 0,997564 0,069756 14,30067
87 0,99863 0,052336 19,08114
88 0,999391 0,034899 28,63625
89 0,999848 0,017452 57,28996
90 1 0

Resumo de Fórmulas da Geometria Plana e Espacial

Abaixo disponibilizo o download de uma arquivo que tem um resumo das principais fórmulas da Geometria Plana e Espacial e com alguns exercícios, tendo o Gabarito no final.

Segue o link: Resumo de Fórmulas da Geometria Plana e Espacial

Por que o parafuso é sextavado?

Por que o parafuso é sextavado?
Você já deve ter visto parafusos destes tipos:

3-htm11

 

Sendo que o mais comum é o primeiro, chamado pelos mecânicos de sextavado. Repare que sua cabeça (onde se encaixa a chave para apertá-lo ou desapertá-lo) é um poliedro: trata-se de um prisma regular hexagonal. Certa vez vimos um parafuso especial de uma máquina, cuja cabeça era um prisma regular triangular:

3-htm42

Por que não existem (pelo menos nunca vimos) parafusos pentagonais ou octogonais?

3-htm43

Em todos estes tipos de parafusos o polígono presente é sempre regular e é fácil perceber a razão disto. Seria inconveniente apertar e despertar um parafuso em cuja cabeça figurasse um polígono não regular. A chave precisaria ser especial para aquele parafuso e ela voltaria a se encaixar na cabeça do mesmo jeito somente após uma rotação de 360°.

Se o polígono da cabeça do parafuso é um quadrado, após uma rotação de 90°, o parafuso volta à posição original, podendo-se encaixar outra vez a chave para um novo giro.

3-htm44

Deste modo com quatro giros de 90° a rosca dá um passo.

No caso do parafuso triangular são necessários três giros de 120° para completar uma volta na rosca.

3-htm45

Com o parafuso sextavado completamos um passo da rosca após seis giros de 60° cada um.

3-htm46

Quando um mecânico está concertando um defeito qualquer numa máquina, por exemplo, um automóvel, muitas vezes ele tem pouco espaço para trabalhar (em geral em posições desconfortáveis). Por esta razão, dos três parafusos apresentados, o mais cômodo é o hexagonal, pois é o que pode ser apertado ou desapertado com giros menores (60°), isto é, com movimentos mais curtos do braço.

Observe que este ângulo de giro a que estamos nos referindo é o ângulo central do polígono regular.

3-htm47
A medida do ângulo central do polígono regular de n lados é 360º/n e se é conveniente, nos parafusos, que o ângulo central do polígono seja “pequeno”, por que não usar polígonos com maior número de lados? Um octógono, por exemplo? Neste caso o ângulo de giro seria de apenas 45°.

3-htm49

Sem dúvida, sob este aspecto, o octógono é mais conveniente que o hexágono. Entretanto há outros fatores que pesam no projeto de um parafuso.
Um octógono regular está mais próximo do círculo que o hexágono regular.

3-htm50

O ângulo interno do hexágono regular mede 120° e do octógono regular mede 135°. A chave usada para apertar ou desapertar um parafuso nunca se ajusta perfeitamente à sua cabeça. Sempre existe uma folguinha. Com o uso, a tendência da cabeça é sofrer um arredondamento (dizemos que a cabeça do parafuso fica espanada). Sob este aspecto o polígono mais adequado é o triângulo (é o que mais se afasta do círculo, é o que tem o menor ângulo interno: 60°).

Perceba que, numa linguagem pouco precisa, mas muito significativa, o hexágono fica mais ou menos no meio termo quando consideramos estes dois (giro pequeno e dificuldade para o espaçamento).
Mas por que não um parafuso pentagonal? O pentágono é próximo do hexágono. Sob aqueles dois aspectos apresentados, o pentágono o possui propriedades próximas das do hexágono.

3-htm51

Para compreender porque não existem parafusos pentagonais é preciso considerar outro aspecto. No hexágono regular existem lados opostos paralelos e o mesmo não ocorre no pentágono regular.

Isto significa que a chave usada para o parafuso hexagonal tem, no encaixe, bordos paralelos, o que facilita o ajuste da chave à cabeça do parafuso.

3-htm58

Para parafusos pentagonais poderíamos ter dois tipos de chaves.

3-htm54

A primeira tem a desvantagem de “escapar” com facilidade e a segunda só se encaixaria na cabeça do parafuso com este movimento:

e não com este:

o que é incômodo para o mecânico. A primeira das chaves pentagonais não apresenta esta desvantagem, mas como dissemos, “escapa” com mais facilidade da cabeça do parafuso.

Em resumo, no projeto de parafusos com cabeças prismáticas, o polígono regular da base deve ser escolhido levando em conta:

  1. seu ângulo central (giro pequeno)
  2. seu ângulo interno (espanamento da cabeça)
  3. existência de lados paralelos (encaixe da chave)

Estes critérios fazem do hexágono regular (parafuso sextavado) o polígono mais adequado.

Artigo escrito por Luiz Márcio P. Imenes José Jakubovic – RPM 04

Gabarito Oficial da OBMEP 2017

Caros alunos, foi divulgado o gabarito oficial da OBMEP 2017, veja:

NÍVEL 3 – Ensino Médio

Clique aqui para ver as provas e soluções da OBMEP 2017.

Absurdo Matemático: Soma negativa?

Soma negativa???

Seja S a soma dos termos infinitos de uma PG de números estritamente positivos com razão 2 e a1 = 1.

S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + …)  a partir do a2, todos os termos são múltiplos de 2.

Se colocarmos o 2 em evidência, teremos:

S = 1 + 2 . ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … ) → como S = ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … ), temos:

S = 1 + 2.S

S – 2.S = 1

S = – 1

Descubra onde está o erro!!

Alunos classificados para II fase da OBMEP 2017

Segue a lista dos alunos classificados para II fase da OBMEP 2017 que confirmaram interesse em fazer a II Fase.

ALUNO PONTUAÇÃO TURMA
Kaione Oliveira Nery 13 431
Theila Silva Sande 12 241
Luanderson Santos Neres 11 212
Zaira Oliveira Santos 10 431
João Victor Rebouças Santos 10 431
Layla Andrade De Almeida 9 421
Joao Nepumoceno Alves Neto 9 411
Hilary Ranna Santos Cardozo 9 421
Anderson Arthur Mota Silva 9 231
Washington Luis F. Oliveira Júnior 8 221
Thalita Sousa Golçalves 8 241
Rafael Alves Gomes Silva 8 411
Matheus Santos Carvalho 8 431
Klaus 8 241
Felipe Brandão Gonçalves 8 431
Djair Maykon De Novaes Miranda 8 431
Carlos Henrique Nunes da Silva 8 231
Carlos Davi Silva Pereira 8 431
Caio Luna Reis do Espirito Santo 8 411

Parabéns a todos os classificados!

A II fase da OBMEP será no dia 14 de setembro às 14h30min.

Acesse o calendário completo

Prepare-se baixando as provas resolvidas da II fase de anos anteriores