Demonstração da Fórmula para as Coordenadas do Baricentro de um Triângulo

Da geometria plana, sabemos que o baricentro ou centróide G de um triângulo é o encontro das três medianas e as divide numa razão de 2 para 1, sendo o segmento maior o que possui extremidade no vértice do triângulo.

Neste artigo, vamos demonstrar que as coordenadas do baricentro de um triângulo, representado num sistema de coordenadas retangulares, são dadas pelas fórmulas:

Seja o triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são respectivamente: A(x­_a , y_a), B(x­_b , y_b) e C(x­_c , y_c). Seja o ponto médio referente ao lado BCrepresentado por D(x_d , y_d). Sejam as coordenadas do baricentro representado por G(x_g , y_g).

O ponto médio de um segmento é dado pela semi-soma de suas coordenadas. Assim, as coordenadas do ponto médio do segmento BC são dadas por:

Como o ponto G divide uma mediana numa razão de 2:1, temos a relação referente à mediana ao lado BC. (Vejam o artigo sobre A Mediana de um Triângulo no Blog Fatos Matemáticos):

Coordenada da abscissa

Considerando as abscissas dos pontos A, G e D e a relação (2), temos que:

Substituindo a relação (1) em (3), obtemos:

Coordenada da ordenada

Analogamente ao que fizemos para encontrar a coordenada da abscissa do baricentro, fazemos para a ordenada:

Substituindo a relação (1) em (4), obtemos:

Exemplo 1: Seja o triângulo ABC cujas coordenadas são dadas por: A(0,1),B(6,–2) e C(4,3). Determinar as coordenadas do baricentro G.

Aplicando as fórmulas, vamos determinar as coordenadas do baricentro.

Assim, as coordenadas do baricentro do triângulo são:

Exemplo 2: Dois vértices de um triângulo são A(0,0) e B(9,0). O centróide é dado pelo ponto (6,1). Ache o terceiro vértice do triângulo.

Resolução: Seja C(x_c, y_c) o terceiro vértice. Assim:

As coordenadas do terceiro vértice são dadas por C(9, 3).

 

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Fonte: Kleber Kilhian em http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/