Equação Biquadrada

Toda equação tem uma forma geral que a representa, as equações biquadradas possuem a seguinte forma:
ax⁴ + bx² + c = 0
Sendo que a, b e c podem assumir qualquer valor real desde que a seja diferente de zero. Veja alguns exemplos de equações biquadradas.
2x⁴ + 5x² – 2 = 0

a = 2, b = 5, c = -2
-x⁴ – x = 0

a = -1, b = -1, c = 0

x⁴ = 0

a = 1, b = 0, c = 0

Observando as equações biquadradas percebemos uma de suas características: são equações onde os expoentes das suas incógnitas são sempre pares.

Para resolver esse tipo de equação é preciso substituir as incógnitas, tornando-a uma equação do segundo grau, veja os exemplos abaixo e compreenda como resolver passo a passo uma equação biquadrada.

Exemplo 1:
Resolva a equação biquadrada (x² – 1) (x² – 12) + 24 = 0. Devemos organizá-la primeiro, ou seja, tirar os parênteses e unir os termos semelhantes.
(x² – 1) (x² – 12) + 24 = 0
x⁴ – 12x² – x² + 12 + 24 = 0
x⁴ – 13x² + 36 = 0

Agora devemos substituir a incógnita x² por y.
x² = y
x⁴ – 13x² + 36 = 0
x² . x² – 13x² + 36 = 0

y² – 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos como resultados de y’ e y’’ respectivamente os valores 9 e 4, como a incógnita da equação biquadrada é x, substituímos os valores de y na igualdade x² = y e obteremos os respectivos valores de x.

Para y = 9
x² = y
x2 = 9
x = ±√9
x = ± 3

Para y = 4
x² = y
x² = 4
x = ±√4
x = ±2

Portanto, a solução dessa equação biquadrada será {-3, -2, 2, 3}.

Exemplo 2:
Resolva a equação x⁴ – 5x² + 10 = 0
Substituindo a incógnita x² por y.
x² = y
y² – 5y + 10 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau o valor do discriminante ∆ será negativo, assim a solução será vazia.

Exemplo 3

x² – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x“
a = 1    b = -10     c = 9
∆ = b² – 4ac
∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64
x = – b ± √∆
            2a
x = -(-10) ± √64
2 . 1
x = 10 ± 8
2
x’ = 9
x” = 1
Essas são as raízes da equação x² – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y⁴ – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y² = x.
Para x = 9
y² = x
y² = 9
y = √9
y = ± 3

Para x = 1
y² = x
y² = 1
y = √1
y = ±1
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
S = {-3, -1, 1, 3}.