Estratégia ao Integrar por Partes

Dada a integral

\int\! u dv

o objetivo da técnica de integração por partes é transformá-la em uma integral mais simples de calcular, ou seja:

\int\! u dv=uv-\int\! v du

Assim, ao integrar por partes uma integral da forma, \int\! f(x) g(x) dx, sempre devemos escolher quem será a função u entre as funções f(x) e g(x) do integrando acima. Desta forma, surge a pergunta: “Como fazer esta escolha?”

Uma sugestão que funciona bem, na maioria das vezes, é escolher as funções u e v através do diagrama LIATE, que foi publicado como uma pequena nota em uma edição antiga da revista “American Mathematical Monthly”, que descreveremos abaixo.

Considere o diagrama com as funções elementares abaixo:

LIATE

Nesse acrônimo, as letras da palavra LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções e a estratégia que deve ser adotada é:

  • Para u “Escolher a função cuja letra inicial está mais próxima de L;
  • Para dv, ou seja, para formar a diferencial, escolhemos a função cuja letra inicial posiciona-se mais próxima de E.

Vejamos alguns exemplos:
1) Na integral

\int\! x\cos x\, dx

escolhemos u=x (Algébrica) e dv=\cos x, dx(Trigonométrica), pois no acrônimo acima, A precede T.


2) Na integral \int\! x^2 \ln x\, dx

escolhemos u=\ln x (Logarítmica) e dv=x^2 dx (Algébrica), pois L precede A no acrônimo acima.


3) Na integral \int\! x \arcsin x, dx, escolhemos u=\arcsin x (Inversa trigonométrica) e dv=x, dx (Algébrica).

Procure exercícios de integração por partes e verifique a validade deste belíssimo acrônimo.

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