Soma e subtração de arcos
Adição de arcos
Cosseno da soma
Considere a figura ao lado. Sejam três pontos e pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são e Os arcos e têm medidas iguais, logo as cordas e também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:
Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:
Seno da soma
Sabemos que A partir disto e sendo obtemos:
Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:
Substituindo e nesta expressão, então:
Tangente da soma
Sabendo que e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para
Então:
Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se e porque a relação só é válida se e somente se
Cotangente da soma
Como podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para
Simplificando, temos:
Como é válida se e somente se a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se e
Exemplos
- Calcule:
-
- Resolução
Subtração de arcos
Cosseno da diferença
Para calcular fazemos uso da igualdade na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:
Então:
Seno da diferença
Podemos fazer a mesma substituição da igualdade para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:
Logo,
Tangente da diferença
Usando novamente a igualdade e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:
Simplificando, temos:
Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se e
Cotangente da diferença
Mais uma vez, usaremos a igualdade e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:
Logo, obtemos a identidade:
Está fórmula só pode ser aplicada se e
Exemplos
- Calcule:
-
- Resolução
- Dados e calcule
-
- Resolução
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