Turmas 421 – 2016

III UNIDADE

PARTE II

Lista 8: Matrizes e Determinantes

Planejamento de atividades práticas de programação

PARTE I

Lista 7: Funções Trigonométricas

GeoGebraBook: Explorando as funções trigonométricas

Lista 6: Transformações de arcos

II UNIDADE – Parte 2

Lista 5-Arcos, Ângulos, Ciclo Trigonométrico, equações

Lista 4: Funções e Equações Trigonométricas

Secante, Cossecante e Cotangente

Exercícios Interativos no GeoGebra

Circunferência Trigonométrica

Simetria no Círculo Trigonométrico

Relação Fundamental da Trigonometria

Conversões de Medidas de Ângulos

Arcos com Mais de uma Volta

Comprimento de um Arco

Função trigonométrica do arco duplo e arco metade

Fórmulas de transformação de soma em produto

Equações Trigonométricas

Funções Trigonométricas

Resumo das fórmulas Trigonométricas

Calculadora Científica na Trigonometria

Demonstrações Trigonométricas

Capítulo de livro sobre Trigonometria

Parte 1

L1-Trigonometria

L2-Lei dos Senos e Cossenos

L3-Lei dos Senos & Cossenos

Cronograma de aulas e atividades de Programação

Trigonometria – Introdução

Teorema de Pitágoras

Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Agudos

Ângulos Notáveis

Jogo de Bilhar utilizando trigonometria

Trigonometria nos triângulos-Exercícios Resolvidos

Diversos Exercícios de Trigonometria no Triângulo Retângulo

Plano Inclinado e as relações trigonométricas

 I UNIDADE

Parte I

Calendário de Avaliações

Capítulo de Livro sobre Logaritmos

Listas 1 e 2: Exponencial e Logarítmos

Logarítmos

Parte II

Progressão Arimética – P. A.

Progressão Geométrica – P. G.

Questões respondidas

LISTAS 1, 2, 3 e 4 de PA & PG

Outras Listas de exercícios

 

  1. Laiane Pereira
    18/11/2016 às 20:51

    Gabarito da lista de matrizes e determinantes

    Questão 1:

    _ _
    |0 -1 -2 |
    A= |1 0 -1 |
    |2 1 0 |
    |_ _ |

    Questão 2:

    a) _ _
    |1 0 0 |
    A= |0 1 0 |
    |0 0 1 |
    |_ _|

    b) _ _
    |1 5 7 |
    A= |4 2 8 |
    |5 7 9 |
    |_ _|

    Questão 3:
    _ _
    |1 1 1 |
    A= |4 2 4 |
    |9 9 9 |
    |_ _|

    a) a22 + a31 = 2 + 9 = 11

    b) 1+2+9 = 12

    Questão 4:

    a = 4
    b = 0 ou b = 1 ou b = -1

    Questão 5:

    a23 = -1

    Questão 6 lista:

    a) (A+B)^t =

    _ _t _ _
    |0 3 1| |0 11 8 |
    |11 -2 1| = |3 -2 7|
    |8 7 -5| |1 1 -5|
    |_ _| |_ _|

    b) (A-B)^t =
    _ _
    |4 -3 -8 |
    | 3 0 -3 |
    | -3 -1 -5|
    |_ _ |

    c) (A * B)^t =
    _ _
    |-9 -15 -26|
    |-8 1 -27|
    |7 -7 2 |
    |_ _ |

    d) (B*A)^t =
    _ _
    |-4 10 36|
    |-2 24 19 |
    |-8 -12 -8 |
    |_ _ |

    Questão 7:

    x = 7/2
    y = (-1)/2

    Questão 8:

    _ _
    |0 2 5 |
    X= |-9 8 13|
    |6 -8 -5|
    |_ _|

    Questão 9:

    x = 2
    y = 2
    x+y = 4

    Questão 10:
    _ _
    |-2 7|
    a) A + B= |2 -6|
    |_ _|
    _ _
    |-4 1|
    b) A – C= |8 -5|
    |_ _|
    _ _
    |-6 5|
    c) A + B – C= |8 -6|
    |_ _|
    _ _
    |0 -3 |
    d) A * B = |-4 13|
    |_ _|
    _ _
    |8 -26|
    e) B * A = |-2 5 |
    |_ _|

    Questão 11:
    _ _
    |2 1 0 |
    X= |1 6 5|
    |0 5 -4|
    |_ _|

    Questão 12: _ _
    |3 -1|
    a) 2A – B + 3C = |3 -1|
    |_ _|
    _ _
    |-39 -62 |
    b) A^2 – B^2 = |-336 -180|
    |_ _|
    _ _
    |-51 46 |
    c) (A + B) * (A – B) = |-6 -68|
    |_ _|
    _ _
    |1 1|
    d) (1/2)A – ( (1/3)B + C )= |-2 6|
    |_ _|

    Questão 13:
    _ _
    a) | 8 |
    | 14 |
    |_ _|
    _ _
    b) |15 -1 |
    |-18 14 |
    |_ _|
    _ _
    c) |2 2 1|
    |3 4 3|
    |3 3 4|
    |_ _|

    Questão 14:

    _ _
    |3 -2 0|
    A^2= |2 -1 0|
    |0 0 1|
    |_ _|

    Questão 15:

    N = N^3 = N^5 = N^7 = N^9
    N^2 = N^4 = N^6 = N^8 = N^10
    _ _
    5N = |0 5|
    |5 0|
    |_ _|
    _ _
    5N^2 = |5 0|
    |0 5|
    |_ _|
    _ _
    5N + 5N^2 = |5 5|
    |5 5| Alternativa a.
    |_ _|

    Questão 16:

    x = 8
    y = 3
    |x * y| = 24

    Questão 17:

    Alternativa 04: Pois, L3 e L4,juntas, venderam no segundo dia tanto quanto no terceiro, ou seja, no 2º dia L3 e L4 venderam 35 itens, e no 3º dia venderam a mesma quantidade juntas.

    Questão 18:

    – Matriz da questão 1:
    _ _
    |0 -1 -2 |
    A= |1 0 -1 | det A = 0
    |2 1 0 |
    |_ _ |

    – Matriz da questão 2:
    a) _ _
    |1 0 0 |
    A= |0 1 0 | det A = 1
    |0 0 1 |
    |_ _|

    b) _ _
    |1 5 7 |
    A= |4 2 8 | det A = 108
    |5 7 9 |
    |_ _|

    – Matriz da questão 3:
    _ _
    |1 1 1 |
    A= |4 2 4 | det A = 0
    |9 9 9 |
    |_ _|

    Questão 19:

    A = 114

    Questão 20:

    a) | sinx -cosx | = cosx (sinx + cosx)
    | cosx cosx |

    b) |3 2 5 |
    |4 1 3 | = 15
    |2 3 4 |

    c) |0 2 0 |
    |-2 1 3 | = 26
    |1 -3 5 |

    c) |2 2 0|
    |1 1 0| = 0
    |4 3 0|

    Questão 21:

    det P^2 = 64

    Questão 22:

    a) Determinante = 9
    b) Determinante= (-9)/4
    c) Determinante = 6

    Questão 23:

    a) S = {2,3}
    b) x = -22
    c) S = {0,4,4}
    d) x = 1
    e) x = 7/3
    f) x = 25/8

    Questão 24:

    a) |1 x x^2|
    |1 2 4 | = -5x^2 – 5x + 30
    |1 -3 9 |

    b) x = -3 ou x = 2

    Questão 25:

    a) p(7) = 22 kg

    b) x = 11 anos

    Questão 26:

    x = 0 e x = -6

    Média = (-6 + 0)/2
    Média = -3
    Alternativa 04.

    Questão 27:

    PG(a,b,c,d)
    q = (a2)/a1
    q = b/a = d/c
    b/a = d/c
    bc = ad
    det A = ad – bc
    det A = bc – bc
    det A = 0
    Alternativa 01.

    Questão 28:
    det C = 54

    Questão 29:

    y = -1
    x = 2
    x*y = -2
    Alternativa 01.

    Questão 30:

    A – (V) det(-A^t) = detB
    det(-A^t) = (-1)^2 detA^t = detA
    detA = det(M^-1 BM) = det(M^-1)*detB*detM
    detA = (1/detM)*detB * detM
    detA = detB

    B – (F) detA = -detB
    detA = detB, conforme proposição anterior.

    C – (F) det(2A) = 2detB
    det(2A) = 2^2 *detA = 4detA = 4detB

    D – (F) Se detB for diferente de 0 então det(AB)0

    E – (F) det(A – I) = – det(I – B)
    det(A – I) = det(M^-1 BM – I) = det(M^-1 BM – M^-1 M) =
    det[M^-1(BM – M)] = det(M^-1) * det(BM – IM) =
    det M^-1 * det[(B-I)M] = detM^-1 * det(B-I)*detM =
    det(B-I)

    Questão 31:

    det A = (raíz de 6 – 3)/4

    Questão 32:
    _ _
    |1 -1 -1|
    A= |-1 1 -1| A = A^t
    |-1 -1 1|
    |_ _|

    det (AA^t) = 16

    Questão 33:

    A incorreta é a letra c:
    _ _
    |1 0|
    A^-1= |-3 1| det A^-1 = 1 e não -1.
    |_ _|

    Questão 34:
    S = {-3,5}

    Questão 35:
    x = 2

    Questão 36:
    det A = x^2 + 5x +8

    |5x + 8| <= x^2 + 5x +8
    5x + 8 – x^2 – 5x – 8 <= 0
    -x^2 = 0

    5x + 8 >= -x^2 – 5x – 8
    5x + 8 + x^2 + 5 +8 >= 0
    x^2 + 10x + 16 >= 0

    x^2 + 10x + 16 = 0
    delta = 36
    x’ = -2 x” = -8

    Alternativa b.
    OBS.: Só não entendi por quê a alternativa b.Por quê mais infinito e menos infinito…

    Questão 37:
    PRECISO DE AJUDA!

    Questão 38:

    log (x-2) + 2 – log (x-3) – 2 <=1
    2 1/2

    log (x-2) – log (x-3) <=1
    2 2^-1

    log (x-2) + log (x-3) <=1
    2 2

    log (x-2)(x-3) 0 x-3 > 0
    x>2 x>3
    S1 = {x pertence IR | x >3}

    (x-2)(x-3) <=2
    x^2 – 5x + 4 <= 0
    x = 4 ou x = 1
    S2 = {x pertence IR | 1<= x <= 4}

    S = S1 intercedido a S2 = {x pertence IR | 3 < x <=4} ou S = ]3,4]
    Alternativa C.

    Questão 39:

    _ _
    |1 3 1|
    D = |3 2 1|
    |2 1 1|
    |_ _|

    det D = 2 + 6 + 3 – 4 – 9 – 1 = -3
    A = |det D| / 2
    A = 3/2
    A = 1,5
    Alternativa 03.

  2. Laiane Pereira
    18/11/2016 às 20:43

    Questão 31:

    det A = (raíz de 6 – 3)/4

    Questão 32:
    _ _
    |1 -1 -1|
    A= |-1 1 -1| A = A^t
    |-1 -1 1|
    |_ _|

    det (AA^t) = 16

    Questão 33:

    A incorreta é a letra c:
    _ _
    |1 0|
    A^-1= |-3 1| det A^-1 = 1 e não -1.
    |_ _|

    Questão 34:
    S = {-3,5}

    Questão 35:
    x = 2

    Questão 36:
    det A = x^2 + 5x +8

    |5x + 8| <= x^2 + 5x +8
    5x + 8 – x^2 – 5x – 8 <= 0
    -x^2 = 0

    5x + 8 >= -x^2 – 5x – 8
    5x + 8 + x^2 + 5 +8 >= 0
    x^2 + 10x + 16 >= 0

    x^2 + 10x + 16 = 0
    delta = 36
    x’ = -2 x” = -8

    Alternativa b.
    OBS.: Só não entendi por quê a alternativa b.Por quê mais infinito e menos infinito…

    Questão 37:
    PRECISO DE AJUDA!

    Questão 38:

    log (x-2) + 2 – log (x-3) – 2 <=1
    2 1/2

    log (x-2) – log (x-3) <=1
    2 2^-1

    log (x-2) + log (x-3) <=1
    2 2

    log (x-2)(x-3) 0 x-3 > 0
    x>2 x>3
    S1 = {x pertence IR | x >3}

    (x-2)(x-3) <=2
    x^2 – 5x + 4 <= 0
    x = 4 ou x = 1
    S2 = {x pertence IR | 1<= x <= 4}

    S = S1 intercedido a S2 = {x pertence IR | 3 < x <=4} ou S = ]3,4]
    Alternativa C.

    Questão 39:

    _ _
    |1 3 1|
    D = |3 2 1|
    |2 1 1|
    |_ _|

    det D = 2 + 6 + 3 – 4 – 9 – 1 = -3
    A = |det D| / 2
    A = 3/2
    A = 1,5
    Alternativa 03.

  3. Laiane Pereira
    18/11/2016 às 20:42

    Questão 21:

    det P^2 = 64

    Questão 22:

    a) Determinante = 9
    b) Determinante= (-9)/4
    c) Determinante = 6

    Questão 23:

    a) S = {2,3}
    b) x = -22
    c) S = {0,4,4}
    d) x = 1
    e) x = 7/3
    f) x = 25/8

    Questão 24:

    a) |1 x x^2|
    |1 2 4 | = -5x^2 – 5x + 30
    |1 -3 9 |

    b) x = -3 ou x = 2

    Questão 25:

    a) p(7) = 22 kg

    b) x = 11 anos

    Questão 26:

    x = 0 e x = -6

    Média = (-6 + 0)/2
    Média = -3
    Alternativa 04.

    Questão 27:

    PG(a,b,c,d)
    q = (a2)/a1
    q = b/a = d/c
    b/a = d/c
    bc = ad
    det A = ad – bc
    det A = bc – bc
    det A = 0
    Alternativa 01.

    Questão 28:
    det C = 54

    Questão 29:

    y = -1
    x = 2
    x*y = -2
    Alternativa 01.

    Questão 30:

    A – (V) det(-A^t) = detB
    det(-A^t) = (-1)^2 detA^t = detA
    detA = det(M^-1 BM) = det(M^-1)*detB*detM
    detA = (1/detM)*detB * detM
    detA = detB

    B – (F) detA = -detB
    detA = detB, conforme proposição anterior.

    C – (F) det(2A) = 2detB
    det(2A) = 2^2 *detA = 4detA = 4detB

    D – (F) Se detB for diferente de 0 então det(AB)0

    E – (F) det(A – I) = – det(I – B)
    det(A – I) = det(M^-1 BM – I) = det(M^-1 BM – M^-1 M) =
    det[M^-1(BM – M)] = det(M^-1) * det(BM – IM) =
    det M^-1 * det[(B-I)M] = detM^-1 * det(B-I)*detM =
    det(B-I)

  4. Laiane Pereira
    18/11/2016 às 20:41

    Questão 11:
    _ _
    |2 1 0 |
    X= |1 6 5|
    |0 5 -4|
    |_ _|

    Questão 12: _ _
    |3 -1|
    a) 2A – B + 3C = |3 -1|
    |_ _|
    _ _
    |-39 -62 |
    b) A^2 – B^2 = |-336 -180|
    |_ _|
    _ _
    |-51 46 |
    c) (A + B) * (A – B) = |-6 -68|
    |_ _|
    _ _
    |1 1|
    d) (1/2)A – ( (1/3)B + C )= |-2 6|
    |_ _|

    Questão 13:
    _ _
    a) | 8 |
    | 14 |
    |_ _|
    _ _
    b) |15 -1 |
    |-18 14 |
    |_ _|
    _ _
    c) |2 2 1|
    |3 4 3|
    |3 3 4|
    |_ _|

    Questão 14:

    _ _
    |3 -2 0|
    A^2= |2 -1 0|
    |0 0 1|
    |_ _|

    Questão 15:

    N = N^3 = N^5 = N^7 = N^9
    N^2 = N^4 = N^6 = N^8 = N^10
    _ _
    5N = |0 5|
    |5 0|
    |_ _|
    _ _
    5N^2 = |5 0|
    |0 5|
    |_ _|
    _ _
    5N + 5N^2 = |5 5|
    |5 5| Alternativa a.
    |_ _|

    Questão 16:

    x = 8
    y = 3
    |x * y| = 24

    Questão 17:

    Alternativa 04: Pois, L3 e L4,juntas, venderam no segundo dia tanto quanto no terceiro, ou seja, no 2º dia L3 e L4 venderam 35 itens, e no 3º dia venderam a mesma quantidade juntas.

    Questão 18:

    – Matriz da questão 1:
    _ _
    |0 -1 -2 |
    A= |1 0 -1 | det A = 0
    |2 1 0 |
    |_ _ |

    – Matriz da questão 2:
    a) _ _
    |1 0 0 |
    A= |0 1 0 | det A = 1
    |0 0 1 |
    |_ _|

    b) _ _
    |1 5 7 |
    A= |4 2 8 | det A = 108
    |5 7 9 |
    |_ _|

    – Matriz da questão 3:
    _ _
    |1 1 1 |
    A= |4 2 4 | det A = 0
    |9 9 9 |
    |_ _|

    Questão 19:

    A = 114

    Questão 20:

    a) | sinx -cosx | = cosx (sinx + cosx)
    | cosx cosx |

    b) |3 2 5 |
    |4 1 3 | = 15
    |2 3 4 |

    c) |0 2 0 |
    |-2 1 3 | = 26
    |1 -3 5 |

    c) |2 2 0|
    |1 1 0| = 0
    |4 3 0|

  5. Laiane Pereira
    18/11/2016 às 20:40

    Gabarito da lista de matrizes e determinantes

    Questão 1:

    _ _
    |0 -1 -2 |
    A= |1 0 -1 |
    |2 1 0 |
    |_ _ |

    Questão 2:

    a) _ _
    |1 0 0 |
    A= |0 1 0 |
    |0 0 1 |
    |_ _|

    b) _ _
    |1 5 7 |
    A= |4 2 8 |
    |5 7 9 |
    |_ _|

    Questão 3:
    _ _
    |1 1 1 |
    A= |4 2 4 |
    |9 9 9 |
    |_ _|

    a) a22 + a31 = 2 + 9 = 11

    b) 1+2+9 = 12

    Questão 4:

    a = 4
    b = 0 ou b = 1 ou b = -1

    Questão 5:

    a23 = -1

    Questão 6 lista:

    a) (A+B)^t =

    _ _t _ _
    |0 3 1| |0 11 8 |
    |11 -2 1| = |3 -2 7|
    |8 7 -5| |1 1 -5|
    |_ _| |_ _|

    b) (A-B)^t =
    _ _
    |4 -3 -8 |
    | 3 0 -3 |
    | -3 -1 -5|
    |_ _ |

    c) (A * B)^t =
    _ _
    |-9 -15 -26|
    |-8 1 -27|
    |7 -7 2 |
    |_ _ |

    d) (B*A)^t =
    _ _
    |-4 10 36|
    |-2 24 19 |
    |-8 -12 -8 |
    |_ _ |

    Questão 7:

    x = 7/2
    y = (-1)/2

    Questão 8:

    _ _
    |0 2 5 |
    X= |-9 8 13|
    |6 -8 -5|
    |_ _|

    Questão 9:

    x = 2
    y = 2
    x+y = 4

    Questão 10:
    _ _
    |-2 7|
    a) A + B= |2 -6|
    |_ _|
    _ _
    |-4 1|
    b) A – C= |8 -5|
    |_ _|
    _ _
    |-6 5|
    c) A + B – C= |8 -6|
    |_ _|
    _ _
    |0 -3 |
    d) A * B = |-4 13|
    |_ _|
    _ _
    |8 -26|
    e) B * A = |-2 5 |
    |_ _|

  6. Matheus Santos Carvalho
    07/11/2016 às 21:52

    Professor qual assunto da 4 unidade.

  7. Rebeca Brandão
    21/10/2016 às 14:23

    Olá, professor! Bom dia! Na questão 6 letras c e d e na questão 12 letras b e c o número de linhas não é igual ao número de colunas. Desde já muito obrigada!
    Atenciosamente,
    Rebeca Brandão 421.

    • 25/10/2016 às 0:37

      Foram corrigida Rebeca, obrigado por alertar ⚠.

      • Rebeca Brandão
        25/10/2016 às 23:42

        Certo!Obrigada também,professor!
        Att.Rebeca.

  8. 22/08/2016 às 23:10

    Olá professor, tem como disponibilizar o conteúdo da próxima unidade? grato desde de já

  9. Rebeca Brandão
    12/08/2016 às 18:55

    Olá professor, boa tarde! Eu poderia resolver a questão 20 da lista 5 por sistema de equações?
    Att. Rebeca -421

    • 13/08/2016 às 0:58

      Rebeca, use a relação fundamental na Forma : sen^2 x=1-cos^2 x. Eleve os dois membros ao quadrado e no primeiro membro vc tera seno de x a quarta. Então substitua na equação da questão.
      Vc também pode usar a fórmula de produtos notáveis a^4-b^4=(a^2+b^2)*(a^2-b^2), sendo a=sen x e b=cos x.

      • Rebeca Brandão
        13/08/2016 às 17:12

        Entendi, muito obrigada professor! Tenha um ótimo final de semana !
        Att. Rebeca Brandão-421.

  10. Rebeca Brandão
    06/08/2016 às 22:40

    Olá, professor! Boa noite! Como posso calcular o ângulo formado pelos ponteiros de um relógio?
    Att. Rebeca Brandão 421

    • 07/08/2016 às 3:50

      Isso ainda vou explicar em sala Rebeca.

      • Rebeca Brandão
        12/08/2016 às 14:17

        Certo, professor. Muito obrigada!
        Att. Rebeca

  11. Rebeca Brandão
    21/06/2016 às 14:01

    Bom dia,professor! Aqui quem fala é Rebeca da 421.
    Nessa questão: (UFV – MG) Na figura abaixo, os triângulos são retângulos, com hipotenusa comum , sendo ABC um triângulo isósceles com catetos medindo 4 cm.
    Se o cateto do triângulo ADC mede 2 cm, então o valor de tg x é:
    Posso resolver aplicando o teorema de Pitágoras?Se sim,terei que usar os dois valores dados para os catetos dos dois triângulos ou apenas do triângulo ADC?
    Desde já muito obrigada!
    Att. Rebeca Brandão-421

    • 22/06/2016 às 1:47

      Preciso ver a figura Rebeca, qual é a quetão? De que lista?

      • Rebeca Brandão
        22/06/2016 às 13:09

        Desculpe-me, acabei esquecendo de colocar. É a questão dois da lista trigonometria_no_ triangulo_retângulo.
        Att. Rebeca

      • 22/06/2016 às 14:55

        Aplique o Teorema de Pitágoras (chamaremos de agora em diante de TP) no triângulo ABC, sabendo que o ângulo reto está em B, então descubra AC. AC também é hipotenusa do triângulo ACD, aplique novamente o TP e descubra o cateto CD. Pronto com o cateto CD que você descobriu e com o cateto AD que foi dado na questão você descobre tg x.
        Entendeu?

      • Rebeca Brandão
        22/06/2016 às 19:11

        Entendi sim. Muito obrigada, professor! Tenha uma ótima tarde!
        Att. Rebeca -421

  12. Rebeca Brandão
    19/05/2016 às 20:39

    Professor,o senhor teria mais questões de P. A e P. G além das listas ?
    Att. Rebeca

  13. Rebeca Brandão
    12/05/2016 às 21:15

    Professor,na questão 53 da lista três eu poderia resolver aplicando logaritmo e o cálculo de juros?
    Att.
    Rebeca -421

    • 13/05/2016 às 1:10

      Sin Rebeca, mas lembre-se que o valor decresce 10% ao ano então a fórmula fica assim: M=c(1-i)^100

      • 13/05/2016 às 1:11

        M=c(1-i)^t

      • Rebeca Brandão
        13/05/2016 às 1:59

        Obrigada, professor! O senhor teria mais questões envolvendo logaritmos?
        Att. Rebeca

  14. Fernando Araujo
    09/05/2016 às 19:07

    Professor, eu perdi minhas listas e quando fui procurar para baixar deu que não estavam mais disponíveis, o mesmo aconteceu no questões respondidas.

    • 09/05/2016 às 21:17

      Troquei se Servidor Fernando, devo estar regularizando hoje a noite. Amanhã estará disponível.

  15. Rebeca Brandão
    19/03/2016 às 0:26

    Professor, o senhor poderia postar o slide que foi apresentado hoje na aula?
    Grata,
    Att. Rebeca.

    • 24/03/2016 às 3:54

      Enviado por e-mail Rebeca

      • Rebeca Brandão
        25/03/2016 às 0:05

        Obrigada.
        Att. Rebeca.

  16. Jefiinho
    12/03/2016 às 15:47

    As listas de Pa e Pg Não estão abrindo.

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