Aplicações dos Logaritmos

Exemplo 1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituiçãobancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: $M = C * (1 + i)^t$ . De acordo com a situação problema, temos:

$M (montante) = 3500$
$C (capital) = 500$

$i (taxa) = 0,035$

$t=?$

$M = C * (1 + i)^t$
$3500 = 500 * (1 + 0,035)^t$

$\frac{3500}{500 }= 1,035^t$

$1,035^t= 7$

Aplicando logaritmo

$\log 1,035^t=\log 7$
$t * \log 1,035 =\log 7$ (utilize tecla $\log$ da calculadora científica)
$t * 0,0149 = 0,8451$

$t = \frac{0,8451}{0,0149}$

$t = 56,7$

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Exemplo 2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Resolução:

População do ano-base = $P_0$
População após um ano = $P_0 * (1,03) = P_1$
População após dois anos = $P_0 * (1,03)^2= P_2$

População após x anos = $P_0 *(1,03^x=P_x$

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

$P_x = 2*P_0$

$P_0 * (1,03)^x = 2*P_0$

$1,03^x= 2$

Aplicando logaritmo

$\log 1,03^x = \log 2$

$x * \log 1,03 = \log 2$

$x* 0,0128 = 0,3010$
$x = \frac{0,3010}{0,0128}$
$x = 23,5$

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.

Exemplo 3 – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:
$Q = Q_0* e^{-rt}$ , em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Resolução:

$Q = Q_0* e^{-rt}$
$200 = 1000 * e^{-0,02t}$

$\frac{200}{1000} = e^{-0,02 t}$

$\frac{1}{5} = e^{- 0,02 t}$

$-0,02t =\ ln \frac{1}{5}$

$-0,02t =\ ln 5^{-1}$

$-0,02 t = - \ln 5$
$0,02t =\ln 5$

$t = \frac{\ln 5}{0,02}$

$t = \frac{1,6094}{0,02}$

$t = 80,47$

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.

Fonte: http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/aplicacao-dos-logaritmos.htm

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