Desafio dos Quatro Quatros

Malba Tahan (2001) propõe no seu livro “O homem que calculava” (título original) um problema curioso que tem feito perder muitas horas aos amigos da matemática mais perseverantes, como sendo possível escrever os números inteiros  até 100 apenas com quatro quatros.

O problema apresenta-se: “Escrever com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode figurar (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra, ou símbolo algébrico que envolva letra, tais como: log., lim., etc.”

A imagem exemplifica uma das representações dos números inteiros até 10, onde se incluem as notações e operações possíveis. Não é permitida qualquer outra notação a não ser os parêntesis retos.

A ideia é descobrir os outros 90 números. Vamos ver quem dá maiores
contributos.

Tendo em conta que escrever matemática em texto corrido são necessárias algumas adaptações, registam-se os exemplos dados na figura:

0= 44-44
1= 4:4×4:4
2= 4/4+4/4
3= (4+4+4):4
4= 4?-Rq(4)-Rq(4)-Rq(4)
5= 4+4^(4-4)
6= 4!x4:4:4
7= Rq(4)+4+4:4
8= 4+4+4:4
9= 4/4+4+4
10= (44-4):4

Nota: 
– não se admite outra raiz senão a quadrada
– o fatorial está representado por “!”   – n! é o produto de todos os números naturais menores ou iguais a n. (ex: 4!=24)
– o terminal está representado por “?”   – n? é a soma de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. (ex: 4?=10)

Que tal continuar a lista acima? Comente com suas respostas.

Método Manual de Extrair Raiz Quadrada

Como exemplo, vamos passar o algoritmo para obter a raiz quadrada de 510.

Obtendo a raiz quadrada de 510. 1. Você pode desenhar o símbolo do radical aritmético com mais duas linhas separadoras (veja na ilustração). Nos espaços teremos lugares para exibir o radicando, o seu resultado e locais para rascunhos essenciais.   2. Se o radicando tiver um número ímpar de algarismos, acrescente um zero no seu início.Atenção: só faça isso no caso do número total de algarismos ser ímpar! Separe em duplas os algarismos – podendo, para esta finalidade, usar pontos como separadores ou mesmo dar espaços entre as duplas logo no começo. 3. IMPORTANTE. Determine qual é o maior número natural cujo quadrado é menor ou igual ao número representado pela primeira dupla. Neste caso o número 2 é o número procurado porque 22 = 4 (e 4 < 05). Registre este número na casa que guarda o resultado, ou seja: 4. No rascunho (A), subtraia da primeira dupla o quadrado do número 2, ou seja: 5. No rascunho (A), copie a segunda dupla (ou seja “10”) como segue:: 6. IMPORTANTE. Agora você deve DOBRAR todo o número que estiver na posição do resultado. Como no espaço “resultado” consta o número 2 e o seu dobro é 4, registre no rascunho (B): 7. (ETAPA INDIRETA). Devemos pesquisar um número natural, na forma 4b (cujo primeiro algarismo é “4” e o segundo algarismo é “b”) de modo que o produto 4b x b resulte num número menor que 110. É regra que devemos buscar o MAIOR de todos os candidatos na forma 4b… Cardica: tente do mais alto para o mais baixo: 49 x 9 = 441 muito alto 48 x 8 = 384 muito alto 47 x 7 = 329 muito alto 46 x 6 = 276 muito alto 45 x 5 = 225 muito alto 44 x 4 = 176 muito alto 43 x 3 = 129 muito alto 42 x 2 = 84 Serve! O algarismo b = 2 gera o próximo algarismo do resultado, ou seja: 8. Do 110, subtraimos 84 no rascunho (A): Como o resto 26 não é nulo, significa que a raiz quadrada de 510 é próximo de 22, mas não é 22 exato. Para buscar, com precisão de uma casa decimal, adicione mais uma dupla de zeros, como segue em cada posição adequada: Para continuar, trace mais uma linha auxiliar (para ajudar a esquecer contas “antigas”) do rascunho (B). MAS NÃO SE ESQUEÇA que a presença da nova dupla de zerosacrescentada artificialmente gerará a primeira casa decimal depois da vírgula – ou seja. não se esqueça da vírgula agora! As etapas são similares às já executadas. Agora, por exemplo, devemos dobrar o 22. Com o número 44, devemos procurar um número na forma 44b tal que 44b x b seja o maior número inferior a 2 600. Tal número b só pode ser 5… Repare: Registre o “5” na casa apropriada: A raiz quadrada de 510, com precisão de uma casa decimal, é 22,5, mas não é a raiz exata porque a subtração de 2600 por 2 225 não é zero, veja:

A partir disso, tente calcular a raiz quadrada, com precisão de DUAS casas decimais:

1) do número 457.820

2) do número 3

Respostas:

1) 676,62

2) 1,73

 –

Fonte: http://www.profcardy.com/

Desafio das 12 moedas

Deixarei o desafio das 12 moedas como passatempo para os leitores. A melhor resposta será publicada em uma publicação futura como resposta ao desafio das 12 moedas. O desafio é o seguinte:

Você tem em suas mãos 12 moedas aparentemente idênticas, mas sabe que uma delas, falsificada, tem massa ligeiramente diferente das demais e é mais leve! Usando apenas uma balança de dois pratos, você conseguiria descobrir em 3 medições, qual a moeda diferente? Como você faria isso?

OBS: Evite pesquisar a resposta no Google, pois assim não terá nenhuma graça! Procure exercitar um pouco seu cérebro e aproveitar essa data tão especial para resolver esse simples desafio.

Fonte: http://www.vivendoentresimbolos.com/2014/05/6-de-maio-dia-nacional-da-matematica.html

O caso dos camelos

Continuando a série de posts em homenagem ao Dia Nacional da Matemática, vamos publicar abaixo o caso dos 35 camelos do livro o “Homem que Calculava” de autoria de Malba Tahan.

 

Beremiz, o homem que calculava, estava viajando pelo deserto de carona no camelo de seu amigo. A certa altura, encontraram três irmãos discutindo acaloradamente. Eles não conseguiam chegar a um acordo sobre a divisão de 35 camelos que o pai lhes havia deixado de herança. Segundo o testamento, o filho mais velho deveria receber a metade, ao irmão do meio caberia um terço e o caçula ficaria com a nona parte dos animais. Eles, porém, não sabiam como dividir dessa forma os 35 camelos. A cada nova proposta seguia-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Em qualquer divisão que se tentasse, surgiam protestos, pois, a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas, e a partilha era paralisada. Como resolver o problema? 


“É muito simples”, atalhou Beremiz, que dominava muito bem os números. Pedindo emprestado o camelo do amigo, propôs uma divisão dos agora 36 camelos. Sendo assim, o mais velho, que deveria receber 17 e meio, ficou muito satisfeito ao sair da disputa com 18. O filho do meio, que teria direito a pouco mais de 11 camelos, ganhou 12. Por fim, o mais moço em vez de herdar 3 camelos e pouco, ganhou 4. Todos ficaram muito felizes com a divisão. Como a soma 18 + 12 + 4 dá 34, Beremiz e o amigo ficam com dois camelos. Devolvendo o camelo de seu amigo, o homem que calculava ficou com aquele que sobrou. 

Pergunta-se: Como Beremiz resolveu o problema dos irmãos e ainda saiu ganhando um camelo?

Desafio da Semana: Área do paralelogramo

O paralelogramo ABCD está dividido em quatro paralelogramos, como ilustrado a figura abaixo. As áreas EBFI, IFCG e HIGD são dadas por 15x, 10x² e 14x para algum real positivo x, respectivamente. Qual a área de AEIH?

a) 15
b) 21
c) 24
d) 25
e) 28

Resp. B

Desafio da semana: Que idade tem a Joana ?

O dia anterior a ontem, a Joana tinha 17 anos. No proximo ano terá 20. Como será possível ?

Desafio da semana: O retrato

Ao olhar para um retrato, um homem disse: “Irmãos e irmãs eu não tenho, mas o pai daquele homem é o filho de meu pai. ” De quem é o retrato ?

Desafio da semana: Corrida de Camelos

Um Sheikh Arabe diz aos seus filhos para fazerem uma corrida de camelos até a uma cidade distante para determinarem quem irá herdar a sua fortuna. Aquele que tiver o camelo mais lento vencerá. Os irmãos, depois de vaguearem sem destino durante dias, decidem aconselhar-se com um sábio. Imediatamente após ouvir o seu conselho, saltam para os camelos e correm o mais rápidamente que podem até à cidade. Que conselho lhes deu o sábio ?

Desafio da semana: Garrafas de vinho

E o desafio da semana é o seguinte:
“Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, qual é o número original de garrafas de vinho na caixa?”

Questão da semana: A prova