Probabilidade

Antes de definir probabilidade, vamos expor alguns conceitos fundamentais, que são os seguintes:

1 – Experimentos Aleatórios

São aqueles que repetidos em idênticas condições produzem resultados diferentes.

Exemplos:

Lançar uma moeda, lançar um dado, tirar uma carta do baralho, etc.

2 – Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. É representado pela letra S. O número de resultados possíveis é representado por n(S).

Exemplos:

Lançamento de uma moeda: S= {cara, coroa}.

Lançamento de um dado: S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Lançamento simultâneo de duas moedas: S= {(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)}

3 – Ponto Amostral

É cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado. No lançamento de uma moeda o espaço amostral S = { cara, coroa}, portanto, existem dois pontos amostrais ou dois resultados possíveis.

4 – Evento

É qualquer subconjunto do espaço amostral (E ⊂ S).

Representa-se o evento por A e o número de elementos do evento por n(A).

Quando A = S o evento é chamado de evento certo, sempre ocorre. Exemplo, no lançamento de uma moeda, S = {ca, co}, a possibilidade de dar cara OU coroa é de 100%.

Quando A = Ø o evento é chamado de evento impossível, nunca ocorre. Exemplo, no lançamento de uma moeda, S = {ca, co}, a possibilidade de dar cara E coroa é nula.

Conceito de Probabilidade

Probabilidade de um evento A é o número real P(A) que é igual ao quociente do número de elementos de A, n(A), sobre o número de elementos de S, n(S). Em outras palavras, o quociente do número de resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis.

P(A) = n(A) / n(S)

OBS: Quando todos os elementos do espaço amostral têm a mesma chance de acontecer, o espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável.

Exemplos:

1- No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de se obter cara ?

S = { ca, co } ⇒ n(S) = 2 A = {ca} ⇒ n(A) = 1

P(A) = n(A) / n(S) =1/2 = 0,5 = 50%

2- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número par, na face superior ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } ⇒ n(S) = 6 A = { 2,4,6 } ⇒ n(A) = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50%

3- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número menor ou igual a 6, na face superior ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } ⇒ n(S) = 6 A = { 1,2,3,4,5,6 } ⇒ n(A) = 6 P(A) = 6/6 = 1,0 = 100% (evento certo)

4- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número maior que 6, na face superior ?

S = { 1,2,3,4,5,6 } ⇒ n(S) = 6 A = { } ⇒ n(A) = 0 P(A) = 0/6 = 0 = 0% (evento impossível)

Após a definição de probabilidade, convém introduzir outros conceitos importantíssimos:

Eventos Complementares

Considerando como p, a probabilidade de que um evento ocorra (sucesso), e q, a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), é fácil percebermos que p + q = 1 ou p = 1 – q.

Esta fórmula é muito importante, porque existirão problemas que serão resolvidos facilmente através dela. Mais adiante, na distribuição binomial, retornaremos a esse conceito.

União De Eventos

Na probabilidade da união de dois eventos A e B, quando há elementos comuns, devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns a A e B (elementos de A ⋂ B ) para não serem computadas duas vezes. Assim P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B)

Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade da carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS?

P(ÁS U Copas) = P(ÁS) + P(Copas) – P(ÁS ⋂ Copas) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).

Exemplo:

A probabilidade do feto de uma gestante de 35 anos com 12 semanas de idade gestacional apresentar Síndrome de Down é de 1 / 249. Agora, se a gestação for de gêmeos a probabilidade será de 1 / 249 + 1 / 249 = 2 / 249, porque estou procurando a probabilidade de apenas um dos fetos apresentar a Síndrome de Down, seria a chance do feto 1 OU do feto 2 apresentar a síndrome.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

P (1 U 2) = P(1) + P(2)

Neste caso, a P(1 ⋂ 2) = 0

No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4 ?

Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Probabilidade Condicionada

Suponha dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio, chama-se probabilidade de A condicionada a B, a probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B. Representa-se por P(A/B)

P(A/B) = n(A ⋂ B) / n(B)

Exemplo:

Qual a probabilidade de, ao se lançar um dado honesto, o número da face superior ser 6 sabendo-se que o resultado foi um número par.

No lançamento de um dado, S = {1,2,3,4,5,6}

Chamando de evento A o resultado de número 6 na face superior do dado, e evento B o resultado número par, temos:

A = {6}

B = {2,4,6}

n(A ⋂ B) = 1, ou seja, o elemento de intersecção é o número 6

n(B) = 3

Pede-se P(A/B) = n(A ⋂ B) / n(B)

P(A/B) = 1/3

Vocês notaram que não foi usado o espaço amostral S = {1,2,3,4,5,6}, porque na probabilidade condicional restringimos o espaço amostral. Então, como já sabíamos que havia ocorrido o evento B, o mesmo foi usado como espaço amostral.

Na fórmula: P(A/B) = n(A ⋂ B) / n(B), se dividirmos n(A ⋂ B) e n(B) por n(S) teremos:

P(A/B) = P(A ⋂ B) / P(B)

Guarde bem essa fórmula, porque a usaremos logo adiante.

Teorema da Multiplicação

O teorema da multiplicação tem haver com o conectivo “e”. Vocês vão notar que problemas de probabilidade, geralmente, estão ligados aos conectivos: “e” e “ou”. O conectivo “e” associa-se a intersecção (multiplicação) e o “ou” associa-se à união (soma).

Em termos do Teorema da Multiplicação, vamos usar a Probabilidade Condicional:

Lembrando a fórmula da probabilidade condicional temos:

P(A/B) = P(A ⋂ B) / P(B)

Multiplicando em cruz temos:

P(A ⋂ B) = P(A/B) . P(B)

Este é o Teorema da Multiplicação que será usado no próximo item: eventos independentes.

Eventos Independentes

Em poucas palavras, dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio, são independentes se a probabilidade da ocorrência de A não interferir na probabilidade da ocorrência de B.

Matematicamente, expressamos da seguinte maneira:

P(A/B) = P(A), isto, porque a ocorrência de A não vai alterar a ocorrência de B, pois são independentes.

P(B/A) = P(B), mesma explicação acima.

Voltando à fórmula de probabilidade condicional:

P(A/B) = P(A ⋂ B) / P(B), multiplicando em cruz:

P(A ⋂ B) = P(A/B) . P(B), como os eventos são independentes P(A/B) = P(A), substituindo:

P(A ⋂ B) = P(A) . P(B)

Eventos Elementares

Quando A é um conjunto unitário, então o evento é chamado de evento elementar. Exemplo, no lançamento de uma moeda, S = {ca, co} cara é um evento elementar e coroa, também. Já o evento cara e coroa, A= {ca, co}, não é.

O somatório das probabilidades atribuídas a cada evento elementar é igual a 1 onde p1 + p2 + p3 + … + pn = 1 .

Lei Binomial de Probabilidade

Vamos supor uma experiência que é realizada n vezes, sempre nas mesmas condições, de modo que o resultado seja independente das demais.

Suponhamos, também, que a cada prova deva aparecer somente um dos dois resultados possíveis: sucesso e insucesso. Chamaremos o sucesso de evento A e o insucesso de evento Ᾱ.

A probabilidade de que ocorra o sucesso será chamada de p. A probabilidade de que ocorra o insucesso será chamada de q, sendo q = 1 – p, porque são eventos complementares.

Problema:

Realizando-se uma experiência n vezes, sempre nas mesmas condições, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A somente k vezes?

Resolução

Se ocorrer k vezes o evento A, num total de n experiências, então deve ocorrer n – k vezes o evento Ᾱ.

Se a probabilidade de ocorrer A é p e de ocorrer Ᾱ é q, então a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento Ᾱ é:

O número de maneiras de ocorrer k vezes o evento A é (combinações de n elementos tomados k a k, isto faz parte do capítulo Análise Combinatória)

Existem, portanto, eventos diferentes, todos com a mesma probabilidade , assim chegamos a fórmula da probabilidade procurada:

Exemplo:

Um trader acredita que, na maioria das vezes, o mercado realiza na sexta-feira, então quer calcular a probabilidade de se vender ações da Petrobrás, todas às sextas-feiras, considerando um mês com 4 sextas-feiras, de se acertar o trade 3 vezes?

Resolução:

Supondo que o mercado pode subir, cair e ficar estável, então a probabilidade p de sucesso do trade é de 1/3.

Logicamente, a probabilidade q de insucesso é de 1 – 1/3 = 2/3.

O n é 4, porque existem, supostamente, 4 sextas-feiras no mês.

O k é 3, porque o trader quer acertar 3 vezes em 4.

Existem maneiras disso acontecer, como n = 4 e k = 3, , ou seja, podemos ter:

(Sucesso, sucesso, sucesso e insucesso) ou (Sucesso, sucesso, insucesso e sucesso) ou (Sucesso, insucesso, sucesso e sucesso) ou (insucesso, sucesso, sucesso e sucesso)

Jogando na fórmula, temos: