Fórmula da Soma dos Termos de uma PG Infinita

Na demonstração abaixo será usado o conceito de limite. Sendo assim, tal demonstração é aconselhável para alunos do ensino superior que já viram tal conceito.

Você pode ver aqui que a fórmula para determinar a soma dos termos termos de uma P. G. finita é dada por

Se tivermos uma PG infinita na forma:

podemos demonstrar a fórmula da soma dos termos desta PG a partir de (1):

Notem que a₁ e q são constantes, de modo que a₁ / q – 1 também é uma constante. No entanto, qⁿ é variável, devido à n. Logo, temos que:

Se temos uma PG de infinitos termos n, podemos aplicar (4) em (3), obtendo:

A condição – 1 < q < 1 é necessária para a convergência da sequência, mas se a₁ = 0 esta condição se torna desnecessária.

Mas, se a₁ ≠ 0 e q < -1 ou q >1, a sequência (S₁, S₂, S₃, …) não converge e se torna impossível calcular a soma dos termos desta PG.

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Exemplo 1: Calcule a soma dos termos da PG:

Temos que:

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Exemplo 2: Calcule a soma dos termos da PG:

Temos que:

Também podemos encontrar frações geratrizes de dízimas periódicas através da PG. Veja um estudo sobre esse tema acessando o link abaixo:

Créditos: Kleber Khilhian em http://obaricentrodamente.blogspot.com/

Veja também:

Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita