Introdução ao estudo do Binômio de Newton

Definição de binômio de Newton

Definimos como binômio o polinômio que possui dois termos. Em algumas aplicações na Matemática e na Física, é necessário calcular potências de um binômio. Para facilitar o processo, Isaac Newton percebeu regularidades importantes que nos permitem encontrar o polinômio que resulta da potência de um binômio.

Para alguns casos, o cálculo é bastante simples: basta realizar a multiplicação do binômio por ele mesmo utilizando a propriedade distributiva. Até uma potência de ordem 3, desenvolvemos sem muito esforço, pois são os conhecidos produtos notáveis, mas, para potências maiores, calcular a partir da multiplicação do termo por ele mesmo n vezes é bastante trabalhoso.

Exemplos:

Newton percebeu uma relação entre os coeficientes de cada um dos termos e a combinação, o que permitiu o cálculo de uma potência de um binômio de forma mais direta a partir da seguinte fórmula:

Entendendo a fórmula

Primeiro vamos analisar a parte literal de cada termo, que é a variável com o seu expoente. Note que, para cada termo, o expoente de “a” foi diminuindo, começando em n, depois foi para n – 1, e assim sucessivamente até ser 1 no penúltimo termo e 0 no último termo (o que faz com que a variável “a” nem apareça no último termo).

Identificando a e seus expoentes:

Agora vamos analisar os expoentes de “b”, que vão sempre aumentando, começando com 0 no primeiro termo (o que faz a variável b nem aparecer no primeiro termo), 1 no segundo termo, e assim sucessivamente até ser igual a n no último termo.

Identificando b e seus expoentes:

Entendendo a parte literal, vamos analisar os coeficientes, que são todas as combinações de n elementos tomados de 0 em 0, 1 em 1, 2 em 2, e assim sucessivamente até o último termo, que é a combinação de n elementos tomados de n em n.

Vale ressaltar que é importante o domínio do cálculo das combinações simples para conseguir encontrar os coeficientes. Lembre-se de que, para calcular combinações, temos que:

Exemplo: Calcule o binômio de Newton (a+b) elevado à quarta potência.

1º passo: escrever o polinômio utilizando a fórmula.

2º passo: calcular as combinações.

Substituindo as combinações, o polinômio encontrado será:

É possível perceber que a resolução de casos assim ainda é trabalhosa, dependendo do expoente, mas mesmo assim é mais rápida do que calcular por meio da propriedade distributiva. Uma ferramenta que pode ajudar nesse calculo é o triângulo de Pascal.

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Tópicos de Binômio de Newton: https://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensino-medio/binomio-de-newton/

Tópicos de Análise Combinatória: https://waldexifba.wordpress.com/material-de-apoio/ensino-medio/analise-combinatoria-e-binomio-de-newton/